Insiemi e sottoinsiemi

Insiemi

Un insieme in matematica indica un raggruppamento di elementi di qualsiasi categoria che può essere individuato mediante una caratteristica comune agli elementi che gli appartengono oppure per semplice elencazione degli elementi. Gli elementi dell'insieme devono essere definiti in modo univoco, o non ambiguo.

Esempio

A= $\{ a,e,i,o,u \}$

A indica l'insieme delle vocali dell'alfabeto.

Nota bene: gli insiemi si indicano con la lettera maiuscola e gli elementi si dispongono ordinati e separati da una virgola.

Un altro modo in cui un insieme può essere definito, oltre all'elenco dei suoi elementi, è quello di indicare la proprietà caratteristica che identifica ciascun elemento dell'insieme.

La proprietà caratteristica che definisce un insieme deve essere precisa, cioè si deve poter stabile senza dubbio se un elemento appartiene ad esso.

Esempi

$A=\{vocali\ dell'alfabeto \}$ è un insieme costituito dalle vocali.

$S=\{le\ ragazze\ simpatiche\ della\ IB\}$ non rappresenta un insieme perché la simpatia non è una qualità oggettiva.

Insieme finito e infinito

Si dice insieme finito un qualsiasi insieme che contiene un numero finito di elementi (anche zero), mentre si dice insieme infinito un qualsiasi insieme che contiene infiniti elementi.

Esempi

L'insieme dei numeri naturali $\N=\{0,1,2,3,...\}$ è infinito perché contiene infiniti elementi.

L'insieme $C=\{1,3,5\}$ è finito perché contiene solo tre elementi.

I sottoinsiemi

L'insieme $S$ è un sottoinsieme dell'insieme $A$ se ogni elemento di $S$ è anche l'elemento di $A$ . Si denota con la scrittura $S\subseteq\ A$ che significa "l'insieme $S$ è contenuto o uguale all'insieme $A$ ".

Nota bene: un sottoinsieme che non contiene nessun elemento è detto insieme vuoto. Tutti gli insiemi hanno un insieme vuoto come sottoinsieme

Esempio

Dato l'insieme $C=\{rosso, giallo, rosa, blu, verde, arancione,bianco\}$ un suo sottoinsieme può essere $S=\{rosso,rosa\}$ , ovvero il sottoinsieme dei colori che iniziano con la lettera r.

Gli insiemi complementari

L'insieme complementare o insieme complemento è l'insieme degli elementi che non appartengono anche a un insieme di riferimento. Dati due insiemi $A$ e $B$ , in cui $B$ è sottoinsieme di $A$ , l'insieme complementare di $B$ rispetto ad $A$ è l'insieme differenza $A/B$ e si può denotare anche come $B^c$ .

Esempio

Dato l'insieme universo $E=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ e dato l'insieme $A=\{0,1,2,3,4\}$ , l'insieme complementare di $A$ sarà $A^c=\{5,6,7,8,9\}$ 

Simbologia

{a,e,i,o,u}	insieme formato dalle vocali
$\emptyset$	insieme vuoto
$\in$	appartiene
$\notin$	non appartiene
$\exists$	esiste
$\nexists$	non esiste
$S\subseteq\ A$	S sottoinsieme di $A$
$A \backslash B$	differenza tra insieme $A$ e $B$
$B^c$	complementare di $B$

Rappresentare gli insiemi

Oltre alla rappresentazione tramite l'elenco dei suoi elementi e tramite la caratterizzazione della sua proprietà, un insieme può essere rappresentato anche graficamente.

Diagrammi di Eulero-Venn

Per rappresentare un insieme graficamente si utilizzano i diagrammi di Eulero-Venn, ossia delle linee chiuse al cui interno si indicano gli elementi.

Esempio

Un diagramma di Eulero-Venn molto comune è quello usato per descrivere le tipologie di numeri matematici e le relazioni tra loro. I numeri naturali $\N$ sono contenuti all'interno dei numeri relativi $\Z$ , perchè ogni numero naturale è anche relativo (ma non il contrario). Analogamente tutti i numeri relativi sono anche razionali, ma non il contrario.

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