Plan complexe géométrique

Plan complexe

On peut représenter les nombres réels sur une droite. Similairement, il existe une représentation géométrique des nombres complexes dans un système de coordonnées. L’axe horizontal représente la partie réelle et l’axe vertical représente la partie imaginaire.

Mathématiques; Nombres complexes; Tle générale; Plan complexe géométrique

Dessiner un nombre sous forme algébrique dans le plan complexe

MÉTHODE

1.	Rassemble les termes pour obtenir la forme algébrique standard $z=a+bi$ .
2.	Détermine la partie réelle du nombre. Elle correspond à la coordonnée sur l’axe horizontal.
3.	Détermine la partie imaginaire du nombre. Elle correspond à la coordonnée sur l’axe vertical.
4.	Trace le point.

Exemple

Le nombre $3+2i$  correspond au point $(3\ ;\ 2)$  dans le plan complexe.

Affixe

Pour tout point dans le plan complexe, on appelle le nombre complexe l’affixe de . De même, pour tout vecteur on appelle le nombre complexe l’affixe de .

Module et argument

Lorsqu’un nombre complexe est représenté dans le plan complexe, la distance $r$ qui le sépare de l’origine est appelée son « module ». On le note et on peut le calculer à l’aide du théorème de Pythagore :

$\left|z\right|=\sqrt{{Re(z)}^2+{Im(z)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

Comme $z\times\overline{z}=\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=a^2+b^2$ , on peut en déduire la propriété suivante :

$\left|z\right|^2=z\overline{z}$

Le segment reliant le point et l’origine forme un angle $\varphi$ avec l’axe horizontal. Cet angle est appelé « argument » et on le note $arg(z)$ .

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Note : Le module est un nombre réel positif. L’argument est conventionnellement donné en radians. Il prend une valeur entre 0 et $2\pi$ .

Propriétés du module

Produit	$\left\|z_1\times z_2\right\|=\left\|z_1\right\|\times\left\|z_2\right\|$	$\left\|z^n\right\|=\left\|z\right\|^n$
Inverse	$\left\|\frac{z_1}{z_2}\right\|=\frac{\left\|z_1\right\|}{\left\|z_2\right\|}$	$\left\|\frac{1}{z}\right\|=\frac{1}{\left\|z\right\|}$

Représentation du nombre conjugué

Chaque nombre complexe $z=a+bi$ a un conjugué $\overline{z}=a-bi$ . Comme leurs parties réelles sont égales, et leurs modules aussi, $\overline{z}$ est géométriquement la symétrie de $z$ par rapport à l’axe des réels.

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L’ensemble

L’ensemble de tous les nombres complexes dont le module vaut est noté $\mathbb{U}$ .

Le produit de deux nombres complexes appartenant à appartient aussi à $\mathbb{U}$ :

L’inverse d’un nombre complexe appartenant à appartient également à $\mathbb{U}$ :

$\left|z\prime\right|=\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{\left|z\right|}=\frac{1}{1}=1$