Matrices : suites de matrices colonnes

Définition

Une suite de matrices colonnes est une suite ou chacun des termes est une matrice colonne.

Exemple

$U_n=\left(\begin{matrix}2n+5\\\frac{1}{n+1}\\\sqrt n\\\end{matrix}\right)$

Convergence

De même que pour les suites de nombres, les suites de matrices colonnes peuvent être convergentes ou divergentes. On dit qu’une suite de matrices colonnes est convergente si tous ses coefficients convergent.

Exemples

$U_n=\left(\begin{matrix}2n+5\\\frac{1}{n+1}\\\sqrt n\\\end{matrix}\right)$ ne convergent pas, puisque $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{2n+5=\infty}$

$V_n=\left(\begin{matrix}\frac{1}{n}\\\frac{1}{n+1}\\\frac{3n^2-2n}{n^2+5n-3}\\\end{matrix}\right)$ converge, puisque $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n}=0},\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n+1}=0},\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{3n^2-2n}{n^2+5n-3}=3}$ . On écrit $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{V_n=\left(\begin{matrix}0\\0\\3\\\end{matrix}\right)}$ .

Suites de matrices définies par des relations de récurrence

On peut représenter un système de suites « couplées » au moyen de matrices. Le système

$\begin{cases}u_n+1=au_n+bv_n+e\\v_n+1=cu_n+dv_n+f\end{cases}$

peut s’écrire comme $\left(\begin{matrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}u_n\\v_n\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}e\\f\\\end{matrix}\right)$ .

On écrit $U_{n+1}=A\times U_n+C$ , avec $A=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right),\ C=\left(\begin{matrix}e\\f\\\end{matrix}\right)$ et $U_n=\left(\begin{matrix}u_n\\v_n\\\end{matrix}\right)$ .

Exemple

Le système

$\begin{cases}u_n+1=2u_n-v_n+3\\v_n+1=u_n+2v_n-5\end{cases}$

peut s’écrire comme $\left(\begin{matrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}u_n\\v_n\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}3\\-5\\\end{matrix}\right)$ .

Exemple

Des spécialistes ont estimé que la population de renards et de poules d’une région suit la règle suivante :

\begin{cases}r_{n+1}=0,9r_n+0,02p_n\\p_{n+1}=-r_n+1,02p_n \end{cases}

avec

r_0=15\\p_0=10\ 000

où $r_n$ représente le nombre de renards et $p_n$ le nombre de poules l’année $n$ .

Combien y aura-t-il de renards et de poules dans la région après deux ans ?

Modélise ce problème à l’aide de matrices :

$U_n=\left(\begin{matrix}r_n\\p_n\\\end{matrix}\right),\ \ U_0=\left(\begin{matrix}15\\10\ 000\\\end{matrix}\right),\ \ A=\left(\begin{matrix}0,9&0,2\\-1&1,02\\\end{matrix}\right)$

Établis la relation de récurrence :

$U_{n+1}=A\times U_n$

Exprime la récurrence en fonction de $U_0$ :

$U_n=A^n\times U_0$

Calcule pour $n=2$ :

$U_2=A^2\times U_0=\left(\begin{matrix}0,9&0,02\\-1&1,02\\\end{matrix}\right)^2\times\left(\begin{matrix}15\\10\ 000\\\end{matrix}\right)\approx\left(\begin{matrix}395\\10\ 175\\\end{matrix}\right)$

Après deux ans, il y aura environ $\underline{395}$ renards et $\underline{10\ 175}$ poules dans la région.