Combinatoires : combinaison

Définition

Dans un ensemble $E$ de $n$ éléments distincts, une combinaison est un sous-ensemble de $E$ comportant $k$ éléments.

Note : Contrairement à l’arrangement, l’ordre des éléments n’est pas pris en compte dans une combinaison.

Les formules pour calculer le nombre de combinaisons sont utilisées lorsque :

On n’utilise pas tous les $n$ éléments mais seulement une sélection de $k$ éléments de $E$ .
Et on ne tient pas compte de l’ordre dans lequel on choisit ou arrange les $k$ éléments.

$n∶\ Nombre\ d^\prime\acute{e}l\acute{e}ments\ diff\acute{e}rents\\k∶\ Nombre\ d^\prime\acute{e}l\acute{e}ments\ choisis/retir\acute{e}s$

Note : Dans le cas « Distinct », les éléments ne peuvent pas survenir plusieurs fois. Dans le cas « Non distinct », ils peuvent se répéter.

Combinaison d’éléments deux à deux distincts :

Dans une urne il y a 10 boules de couleurs différentes. On tire 5 boules sans les remettre dans l’urne après coup.

Combien y a-t-il de combinaisons possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Distinct
Oui	Non	Oui

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\binom{n}{k}$	$n=Nombre\ total\ de\ boules=10\\k=Nombres\ de\ boules\ tir\acute{e}es=5$	$\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\times\left(10-5\right)!}=\underline{252}$

Combinaison d’éléments distincts ou non :

Dans une urne il y a 8 boules noires 10 boules vertes. On tire 5 boules.

Combien y a-t-il de combinaisons possibles ?

Sélection	Échantillon ordonné	Distincts
Oui	Non	Non

Formule	Valeurs	Nombre de possibilités
$\binom{n+k-1}{k}$	$n=Nombre\ de\ couleurs=2\\k=Nombre\ de\ boules\ tir\acute{e}es=5$	$\binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\times\left(6-5\right)!}=\underline{6}$