Loi géométrique : fonctions et paramètres

Définition

La loi géométrique est une distribution de probabilité discrète. On l’utilise dans le cas des expériences aléatoires composées (schémas de Bernoulli).

$X~G(p)$

La variable aléatoire $X$ donne l’essai auquel on obtient le premier succès, sachant que la probabilité d’un succès est $p$ .

Fonctions

La loi géométrique donne la probabilité d’obtenir un premier succès après exactement $k$ essais. Cela signifie que les $k-1$ essais précédents sont des échecs.

$f\left(k\right)=P(X=k)=\left(1-p\right)^{k-1}\times p$	$p$	Probabilité d’un succès
	$1-p$	Probabilité d’un échec
	$k$	Essai auquel on obtient le premier succès

Paramètres

ESPÉRANCE	$E\left(X\right)=\frac{1}{p}$
VARIANCE	$V\left(X\right)=\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p}$
ÉCART TYPE	$\sigma(X)=\sqrt{\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p}}$

Représentation graphique :

Mathématiques; Variables aléatoires; Tle générale; Loi géométrique : fonctions et paramètres

Exemple

On lance un dé à $8$ faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un premier $8$ au $8^{ème}$  essai ?

Probabilité d’un succès (de lancer un $8$ ) : $p=\frac{1}{8}$

Probabilité d’obtenir un premier succès au $8^{ème}$  essai :

$f\left(8\right)=\left(1-\frac{1}{8}\right)^{8-1}\times\frac{1}{8}=0,0491=\underline{4,91\%}$