Définition

La loi binomiale est l’une des plus importantes lois de probabilité discrète. Elle entre en jeu lorsqu’on a une expérience aléatoire sous la forme d’un schéma de Bernoulli :

Seulement deux résultats par expérience de Bernoulli sont possibles.
Les différentes expériences sont indépendantes les unes des autres.

Note : La loi binomiale d’une expérience répétée $n$ fois et avec une probabilité de succès $p$ se note $B\left(n,p\right).$

Formules

La loi binomiale est tirée du schéma de Bernoulli.

$P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\times p^k\times\left(1-p\right)^{n-k}$	$p$	Probabilité du succès
	$n$	Nombre de répétition de l’expérience aléatoire
	$k$	Nombre de succès

L’espérance d’une expérience suivant la loi binomiale se calcule ainsi :

$E\left(X\right)=n\times p$	$p$	Probabilité du succès
$E\left(X\right)=n\times p$	$n$	Nombre de répétition de l’expérience aléatoire

Exemple

Un joueur de basket a une probabilité de $60\%$ de marquer un panier. Quelle est la probabilité qu'il marque $8$ paniers sur $10$  tirs ? Quelle est l’espérance de cette expérience ?

Tableau avec les variables :

$p$	$0,6$
$1-p$	$0,4$
$n$	$10$
$k$	$8$

Calcul de la probabilité :

$P(X=8)=\binom{10}{8}\times{0,6}^8\times{0,4}^2\approx0,121=\underline{12,1\%}$

Représentation dans le diagramme :

Mathématiques; Variables aléatoires; Tle STMG; Loi binomiale : définitions

Espérance :

$E\left(X\right)=10\times0,6=\underline{6}$