Positions relatives entre une sphère et une droite

$d$ est la distance de la droite au centre de la sphère. Cette distance est toujours mesurée perpendiculairement à la droite.

Trois cas

POINT DE CONTACT	DEUX POINTS D’INTERSECTION	AUCUN POINT D’INTERSECTION
$d=r$ : La droite est tangente à la sphère en un point.	$d<r$ : La droite intersecte la sphère en deux points.	$d>r$ : La droite ne coupe pas la sphère.

Déterminer l’intersection entre une sphère et une droite

L’équation de la sphère de centre $M\left(x_M;y_M;z_M\right)$ est donnée sous la forme standard :

$\left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2+\left(z-z_M\right)^2=r^2$

où $r\in\mathbb{R}$ est le rayon.

La droite est donnée sous forme paramétrique :

$\begin{cases}x=ku_x+a_x \\y=ku_y+a_y \\z=ku_z+a_z\end{cases}$

MÉTHODE

1.

Remplace $x,y,z$ dans l’équation de la sphère par les valeurs $x,y,z$ de la droite.

2.

Calcule la valeur de $k$ dans l’équation de la sphère et déduis-en les points d’interception.

Note : Chaque solution de l’équation est un point d’intersection. Comme il s’agit d’une équation du second degré, il est possible de trouver une, deux ou aucune solution.

S’il existe au moins une solution pour $k$ , on trouve le(s) point(s) d’intersection en substituant la (ou les) solution(s) dans l’équation de la droite.

Exemple

Trouve les points d’intersection de la sphère d’équation $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=1$ et de la droite d’équation

$\begin{cases}x=1\\y=k-2\\z=2\end{cases}$

Les points sur la droite sont de la forme : $(1\ ;k-2\ ;\ 2)$ 

Remplace ces valeurs dans l’équation de la sphère et résous l’équation :

$\left(1-1\right)^2+\left(k-2-2\right)^2+\left(2-1\right)^2$	$=1$
$\left(k-4\right)^2+1$	$=1$
$\left(k-4\right)^2$	$=0$
$k$	$=4$

Il y a une unique solution et donc un unique point d’intersection.

Substitue $k=4$  dans l’équation de la droite :

$(1\ ;k-2\ ;\ 2)=(1\ ;4-2\ ;\ 2)=(1\ ;\ 2\ ;\ 2)$ 

Les coordonnées du point d’intersection sont donc $\underline{(1\ ;\ 2\ ;\ 2)}.$