Equation standard du cercle

Cercle de centre $M(x_M;y_M)$ et de rayon $r$ :

$\left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=r^2$

Note : Les cercles décrivent tous les points qui ont la même distance du centre (rayon). La formule est basée sur le théorème de Pythagore.

Donne l’équation du cercle de centre $M(3;-1)$ et rayon $r=2$ :

Équation : $\underline{\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2=4}$ 

Trouver l’équation du cercle

Le centre $M$ et un point $P$ sur le cercle sont donnés.

1.

Calcule le rayon $r$ , qui correspond à la distance de $M$ à $P$ :

$\lVert\overrightarrow{MP}\rVert=\sqrt{(x_P-x_M)^2+(y_P-y_M)^2}$

2.

Écris l’équation du cercle pour les valeurs de $r$ et $M$ .

Trouve l’équation du cercle de centre $M\left(3;2\right)$ comportant le point $P\left(0;-2\right)$ .

Calcule le rayon :

$r=\lVert\overrightarrow{MP}\rVert=\sqrt{(0-3)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{25}=5$ 

Forme l’équation standard du cercle :

$\underline{\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25}$ 

1.

Pour chaque variable, utilise la complétion du carré pour obtenir des termes de forme $\left(x-x_M\right)^2$ et $\left(y-y_M\right)^2$

2.

Écris l’équation sous la forme souhaitée :

3.

Le rayon et les coordonnées du centre peuvent être extraits directement de l’équation standard.

Conseil : Le rayon (à droite dans la forme standard) doit être positif. Sinon ce n’est pas un cercle.

Cercle d’équation : $\ x^2+y^2+6x-4y-12=0$ 

Complétion du carré :

$x^2+6x\underbrace{+ 9-9}_{complété}+y^2-4y\underbrace{+ 4-4}_{complété}-12=0$

${(x+3)}^2-9+\left(y-2\right)^2-4-12=0$

Retrouve l’équation standard du cercle :

$\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$ 

Déduis-en le rayon et les coordonnées du centre :

$\underline{r=5}\ \ \ \ \ \ \ \underline{M(-3;2)}$ 