Relations et angles entre plans

Relations entre plans

CONFONDUS	Les plans sont superposés : Les vecteurs normaux sont colinéaires (parallèles). Les deux plans partagent les mêmes points.
PARALLÈLES	Les plans sont parallèles ; ils ne se croisent pas : Les vecteurs normaux sont colinéaires. Aucun point n’est partagé par les deux plans.
SÉCANTS	Les plans se croisent en une ligne d’intersection : Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Les deux plans partagent certains points.
PERPENDICULAIRES	Les plans se croisent en une ligne d’intersection : Les vecteurs normaux sont orthogonaux (perpendiculaires). Les deux plans partagent certains points.

Plans :

$E:\ a_Ex+b_Ey+c_Ez+d_E=0,\ \ \ \overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix}a_E\\b_E\\c_E \end{pmatrix}$

$F:\ a_Fx+b_Fy+c_Fz+d_F=0,\ \ \ \overrightarrow{n_F}=\begin{pmatrix}a_F\\b_F\\c_F \end{pmatrix}$

\cos{(\alpha)}=\frac{\lvert \overrightarrow{n_E}\cdot \overrightarrow{n_F}\rvert}{\lVert\overrightarrow{n_E}\rVert×\lVert\overrightarrow{n_F}\rVert}

\alpha=cos^{-1} (\frac{\lvert\overrightarrow{n_E}\cdot \overrightarrow{n_F}\rvert}{\lVert\overrightarrow{n_E}\lVert×\rVert\overrightarrow{n_F}\rVert} )

1.	Compare les deux vecteurs normaux pour la colinéarité. $\overrightarrow{n_E}=k\overrightarrow{n_F}$
Si colinéaires : les plans sont confondus ou parallèles :
2a.	Évalue l’équation d’un des plans à l’un des points de l’autre. Si l’équation est satisfaite, les plans sont parallèles et confondus. Si l’équation n’est pas satisfaite, les plans sont seulement parallèles et non confondus.
Si non colinéaires : les plans se croisent sur une ligne d’intersection :
2b.	Détermine la ligne d’intersection $s$ : Trouve deux points satisfaisant les deux équations de plan. Construis la droite passant par ces deux points en prenant comme vecteur directeur le vecteur allant d’un point à l’autre.

Déterminer la relation entre les plans $E∶\ \ \ 2x-y+z=1$ et $F∶\ \ \ x+y-2z=-1$ .

Vecteurs normaux :

$\overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{n_F}=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$ 

Vérifie la colinéarité :

$\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\neq k \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$  non colinéaires

Trouve deux points sur les deux plans :

Choisis $x=0$ :

Évalue l’équation des plans en $x=0$ :

$E∶\ \ \ -y+z=1$ 

$F∶\ \ \ y-2z=-1$ 

Coordonnées qui satisfont les deux équations : $y=-1$ , $z=0$ 

→ point $A=(0;-1;0)$ 

Choisis $x=1\$ :

Évalue l’équation des plans $x=1$ :

$E∶\ \ \ 2-y+z=1$ 

$F∶\ \ \ 1+y-2z=-1$ 

Coordonnées qui satisfont les deux équations : $y=4$ , $z=3$ 

→ point $B=(1;4;3)$ 

Vecteur directeur :

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\5\\3 \end{pmatrix}$ 

Droite $s$ passant par les points $A$ et $B$ :

$\begin{cases}x=0+t\\ y=-1+5t\\ z=0+3t\end{cases}$ 