Représentation

Comment décrire les vecteurs avec des nombres :

$\overrightarrow a = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}$

$\overrightarrow a = \begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}$

Longueur

Calcul de la longueur (ou norme) d’un vecteur :

2 DIMENSIONS	3 DIMENSIONS
$\lVert\overrightarrow a \rVert=\sqrt{a^2_x+a^2_y}$	$\lVert\overrightarrow a \rVert=\sqrt{a^2_x+a^2_y+a^2_z}$

VECTEUR NUL $\overrightarrow 0$	$\overrightarrow 0 = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}$
VECTEUR OPPOSÉ	$\overrightarrow v = \begin{pmatrix} v_x\\v_y\\v_z \end{pmatrix}$  $- \overrightarrow v=\begin{pmatrix}-v_x\\-v_y\\-v_z\end{pmatrix}$
VECTEUR UNITAIRE	Vecteur de longueur « $1$ ». Vecteur unitaire de $\overrightarrow v$ : $\overrightarrow v_u=\frac{1}{\lVert\overrightarrow v \rVert}\begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix}$

On peut décrire chaque point $P$ dans le système de coordonnées avec un vecteur position.

Le vecteur position va de l’origine au point $P$ .

On écrit $\overrightarrow {OP}$ .

Valable en 2D et 3D.

Vecteur position de $P(3;1;5)$ 

$\overrightarrow {OP}=\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}$ 

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ va du point $A$ au point $B$ . Il indique la distance en chaque coordonnée.

Calcul :

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\begin{pmatrix}b_x-a_x\\b_y-a_y\\b_z-a_z\end{pmatrix}$

Valable en 2D et 3D.

Vecteur de $A\left(3;1;5\right)$ à $B(2;4;2)$ 

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\begin{pmatrix}2-3\\4-1\\2-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-3\end{pmatrix}$ 