Addition

$\overrightarrow a+\overrightarrow b$

Graphiquement on place la fin d’un vecteur au début de l’autre vecteur.

Cas général	Relation de Chasles

Relation de Chasles

Lorsqu’on additionne deux vecteurs dont l’extrémité du premier est l’origine du deuxième, alors le résultat est le vecteur dont l’origine est celle du premier et l’extrémité celle du deuxième.

$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$

Soustraction

$\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + \overrightarrow{(-b)}$

On additionne le vecteur opposé de $\overrightarrow b$ .

Mathématiques; Vecteurs; 2de générale; Vecteurs - Opérations et règles de calcul

Multiplication par un scalaire

Un scalaire $k$ est un nombre réel.

$k\overrightarrow a$

Sens :

Si $k$ est positif, le sens de $\overrightarrow a$ ne change pas.
Si $k$ est négatif le sens de $\overrightarrow a$ est inversé.

Direction :

La direction d’un vecteur n’est jamais modifiée par une multiplication par un scalaire.

Longueur :

Si $\left|k\right|<1$ : $\overrightarrow a$ est raccourci.
Si $\left|k\right|>1$ : $\overrightarrow a$ est allongé.
Si $\left|k\right|=1$ : la longueur de ne change pas.

Mathématiques; Vecteurs; 2de générale; Vecteurs - Opérations et règles de calcul

Propriété

Commutativité de l’addition	$\overrightarrow a + \overrightarrow b=\overrightarrow b +\overrightarrow a$	L’ordre des vecteurs additionnés n’a pas d’importance.
Associativité de l’addition	$(\overrightarrow a+\overrightarrow b)+\overrightarrow c=\overrightarrow a+(\overrightarrow b+\overrightarrow c)$	L’ordre de l’addition n’a pas d’importance.
Elément neutre de l’addition	$\overrightarrow a+\overrightarrow 0=\overrightarrow a$	L’addition du vecteur nul $\overrightarrow 0$ ne change rien.
Elément inverse de l’addition	$\overrightarrow a+\overrightarrow {(-a)}=\overrightarrow 0$	L’addition d’un vecteur et de son opposé donne le vecteur nul.
Associativité de la multiplication scalaire	$(rs)\overrightarrow a=r(s\overrightarrow a)$	L’ordre de la multiplication des scalaires n’a pas d’importance.
Distributivité	$k(\overrightarrow a+\overrightarrow b)=k\overrightarrow a+k\overrightarrow b\\(r+s)\overrightarrow a=r\overrightarrow a+s\overrightarrow a$	La multiplication scalaire se distribue comme écrit.
Norme	$\lVert k\overrightarrow a\rVert=\lvert k\rvert\times\lVert\overrightarrow a\rVert$	Une norme peut être séparée comme écrit.