Formule d'Al-Kashi

Définition

La formule d’Al-Kashi, également appelée loi des cosinus, s’applique à tous les triangles. Elle établit un rapport entre les longueurs des côtés et les angles.

Mathématiques; Trigonométrie; 2de générale; Formule d'Al-Kashi

Formules

$a^2=b^2+c^2-2bc\times cos\left(\alpha\right)\\b^2=a^2+c^2-2ac\times cos\left(\beta\right)\\c^2=a^2+b^2-2ab\times cos\left(\gamma\right)$

Note : si un angle vaut, alors son cosinus est égal à $0$ et la loi des cosinus se réduit au théorème de Pythagore : $c^2=a^2+b^2$ .

Exemple

Résoudre un triangle avec seulement trois informations.

Détermine les côtés et les angles manquants du triangle avec les valeurs $\alpha=30°$ , $b=10\ cm$ , et $c=7\ cm$ .

Loi des cosinus pour $a$ :

$a^2={10}^2+7^2-2\times10\times7\times cos(30°)$ 

$a\approx\underline{5,27\ cm}$ 

Calcule l’angle $\beta$ avec la loi des cosinus :

${10}^2={5,27}^2+7^2-2\times5,27\ \times7\ \times c o s{\left(\beta\right)}$ 

$\frac{{10}^2-{5,27}^2-7^2}{2\times5,27\ \times7}=-\ cos{\left(\beta\right)}$ 

${cos}^{-1}(-\frac{{10}^2-{5,27}^2-7^2}{2\times5,27\ \times7})=\beta$ 

$\beta\approx\underline{108,35°}$ 

La somme des angles doit être égale à $180°$ :

$\gamma=180°-30°-108,35°=\underline{41,65°}$ 