Suites : représentations, arithmétiques et géométriques

Définition

Une suite est une énumération infinie de nombres appelés termes.
Certaines suites respectent une règle donnée pour obtenir chaque nouveau terme.

Exemple

Mathématiques; Suites; 1re générale; Suites : représentations, arithmétiques et géométriques

Note 1 : On peut aussi noter $u(n)$ à la place de $u_n$ .

Manières de les représenter

Les suites peuvent être représentées mathématiquement (comme formule) de deux manières différentes. On peut souvent passer d’une représentation à l’autre.

Relation explicite

Les termes de la suite peuvent être calculés en évaluant à la valeur $n$ . On ne doit pas prendre en compte le terme précédent.

Exemples

u_n=\frac{n+(-1)^n}{n}

u_1=\frac{1+(-1)^1}{1}=0

u_2=\frac{2+(-1)^2}{1}=3

Note 2 : Les suites peuvent commencer par $u_0$ ou $u_1$ comme premier terme.

Relation de récurrence

Les nouveaux termes sont calculés grâce aux termes précédents. Il faut par exemple connaître $u_{n-1}$ pour calculer $u_{n}$ .

Exemples

u_n=\frac{n+(-1)^n}{n}

u_1=\frac{1+(-1)^1}{1}=0

u_2=\frac{2+(-1)^2}{1}=3

Suite arithmétique et suite géométrique

Suite arithmétique

Le nouveau terme de la suite est donné par son prédécesseur plus une valeur fixe $d$ .

Récurrent

$u_n=u_{n-1}+d$

d

est constant :

d=u_n-u_{n-1}

Explicite

$u_n=u_1+d×(n-1)$

$= u_0+d×n$

Une suite arithmétique représente une évolution absolue constante (accroissement constant), c’est-à-dire que la différence entre deux termes consécutifs de la suite est constante (elle est égale à d). On parle alors de croissance linéaire.

Suite géométrique

Le nouveau terme de la suite est donné par son prédécesseur fois une valeur fixe $q$ .

Récurrent

$u_n=u_{n-1}×q$

q

est constant :

q=\frac{u_n}{u_{n-1}}

Explicite

$u_n=u_1×q^{n-1}$

$=u_0×q^n$

Une suite géométrique représente une évolution relative constante (taux constant), c’est-à-dire que le quotient entre deux termes consécutifs de la suite est constant (il est égal à q). On parle alors de croissance exponentielle.

Suite arithmétique

Exemple

u_n=u_{n-1}+3

avec

u_0=-2

Mathématiques; Suites; 1re générale; Suites : représentations, arithmétiques et géométriques

Les termes d’une suite arithmétique se trouvent sur la droite affine d’équation

y=dx+u_0

Suite géométrique

Exemple

u_n=u_{n-1}\times2

avec

u_0=1

Les termes d’une suite géométrique se trouvent sur le graphe d’une fonction exponentielle d’équation

y=u_0×q^x

.