Calcul de l'aire entre des intégrales

Aire entre le graphe et l’axe des x

Grâce à l’intégrale on peut calculer l’aire entre un graphe et l’axe des x sur un intervalle.

Si le graphe est au-dessus de l’axe des $x$ , la valeur de l’aire de l’intégrale est positive.
Si le graphe est en dessous de l’axe des $x$ , la valeur de l’aire de l’intégrale est négative.

Mathématiques; Calcul intégral; Tle générale; Calcul de l'aire entre des intégrales

Note : L’intégrale donne la différence des surfaces au-dessus et en dessous de l’axe des $x$ . La surface fermée est déterminée à partir des valeurs absolues des différentes parties de la surface.

Méthode

1.	Détermine les racines.
2.	Détermine les bornes des intégrales et écris les intégrales correspondantes : Si les racines se trouvent dans l’intervalle, sépare en plusieurs intervalles. Écris une intégrale distincte pour chaque intervalle. *Conseil :* Il faut mettre un signe « moins » devant les intégrales correspondant à une aire en dessous de l’axe des $x$ . Si tu ne sais pas si la fonction est au-dessus ou en dessous de l’axe sur un intervalle donné, prends les valeurs absolues des intégrales à la place.
3.	Calcule les intégrales individuelles et additionne les résultats.

Schéma :	Aire :
	$A=\underbrace{\int_0^af(x)dx}_{A_1}\underbrace{-\int_a^bf(x)dx}_{A_2}\underbrace{+\int^c_bf(x)dx}_{A_3}$
	ou
	$A=\underbrace{\Bigg\|\int_0^af(x)dx\Bigg\|}_{A_1}\underbrace{+\Bigg\|\int_a^bf(x)dx\Bigg\|}_{A_2}\underbrace{+\Bigg\|\int^c_bf(x)dx\Bigg\|}_{A_3}$

Exemple

Calcule l’aire entre l’axe des $x$ et le graphe de $3x^2-3$ sur l’intervalle $[0 ;3]$ .

Détermine les racines contenues dans l’intervalle :

$3x^2-3=0 \\3x^2=3 \\x^2=1$

Racines :

$x_{r1}=1$  (Contenue dans l’intervalle), $x_{r2}=-1$ (non contenue dans l’intervalle)

Écris l’intégrale à calculer :

$A=\underbrace{\Bigg|\int_0^13x^2-3\quad dx\Bigg|}_{A_1}\underbrace{+\Bigg|\int_1^33x^2-3\quad dx\Bigg|}_{A_2}$

Trouve une primitive :

$F(x)=x^3-3x$

Calcule $A_1$  et $A_2$ :

$A_1=|F(1)-F(0)|=|(1^3-3×1)-(0^3-3×0)|=|-2|=2\\A_2=|F(3)-F(1)|=|(3^3-3×3)-(1^3-3×1)|=|20|=20$

Calcule l’aire :

$A=2+20=\underline{22}$

Aire entre deux graphes

Souvent, on doit calculer l’aire entre deux graphes sur un intervalle.
Pour calculer l’aire on doit former l’intégrale de la différence des fonctions.

$A=∫_a^b(f(x)-g(x))dx$

Si $f(x)$ est au-dessus de $g(x)$ , la valeur de l’aire de l’intégrale est positive.
Si $f(x)$ est en dessous de $g(x)$ , la valeur de l’aire de l’intégrale est négative.

Mathématiques; Calcul intégral; Tle générale; Calcul de l'aire entre des intégrales

Méthode

1.	Calcule les points d’intersection des fonctions.
2.	Détermine les bornes des intégrales et écris les intégrales correspondantes : S’il y a des points d’intersection dans l’intervalle, sépare en plusieurs intervalles. Écris une intégrale distincte pour chaque intervalle. Chaque intégrale a la forme : $∫_a^b(f(x)-g(x))dx$ , avec $a$ et $b$ les points d’intersections. *Conseil :* Si tu ne sais pas quelle fonction est au-dessus de l’autre sur un intervalle, utilise les valeurs absolues des intégrales.
3.	Calcule les intégrales individuelles et additionne les résultats.

Schéma :	Aire :
	$A=\underbrace{\int_a^b(f(x)-g(x))dx}_{A_1}\underbrace{-\int_b^c(f(x)-g(x))dx}_{A_2}$
	ou
	$A=\underbrace{\bigg\|\int_a^b(f(x)-g(x))dx\bigg\|}_{A_1}\underbrace{+\bigg\|\int_b^c(f(x)-g(x))dx\bigg\|}_{A_2}$

Exemple

Calcule l’aire entre le graphe de $3x^2$ et le graphe de $6x$ sur l’intervalle $[1 ;3]$ .

Détermine les points d’intersection contenus dans l’intervalle :

$3x^2=6x\\ 3x^2-6x=0\\ x(3x-6)=0$

Points d’intersections :

$x_{I1}=0$ (non contenu dans l’intervalle), $x_{I2}=2$ (contenu dans l’intervalle)

Écris l’intégrale à calculer :

$A=\underbrace{\bigg|\int_1^23x^2-6x\quad dx\bigg|}_{A_1}\underbrace{+\bigg|\int_2^33x^2-6x\quad dx\bigg|}_{A_2}$

Trouve une primitive :

$x^3-3x^2$

Calcule $A_1$  et $A_2$ :

$A_1=|F(2)-F(1)|=|(2^3-3×2^2)-(1^3-3×1^2)|=|-2|=2\\A_2=|F(3)-F(2)|=|(3^3-3×3^2)-(2^3-3×2^2)|=|4|=4$

Calcule l’aire :

$A=2+4=\underline{6}$