Primitives : théorème fondamental de l'analyse

Définition

La dérivée de la primitive d’une fonction donne à nouveau la fonction.

Comme tu vas le voir dans le théorème suivant, tu peux retrouver la primitive d’une fonction à l’aide du calcul intégral.

$f(x)\xrightarrow{\text{Intégrer}} F(x)$

La fonction $F_a (x)$ est l’une des primitives d’une fonction $f$ continue sur un intervalle $]a;b[$ . Elle est définie comme suit :

$F_a (x)=∫_a^xf(t)dt$

C’est la seule primitive de $f$ qui s’annule en $a$ .

En conséquence, en prenant l’une des primitives $F$ de $f$ , on $a$ :

$F(b)-F(a)=∫_a^bf(t)dt$

Note 1 : On utilise souvent la notation $[F(t)]_a^b=F(b)-F(a)$ .

Note 2 : Toute fonction continue sur un intervalle admet donc des primitives.

1.	Trouve la primitive $F$ de la fonction $f$ à intégrer, comme appris précédemment.
2.	Utilise la formule $F(b)-F(a)$ en utilisant les bornes de l’intégrale comme argument.

$∫_0^13x^2 dx$

Trouve une primitive :

$F(x)=x^3$

Utiliser les bornes :

$∫_0^13x^2 dx=F(1)-F(0)=1^3-0^3=\underline{1}$