Dérivée et taux de variation : former la dérivée

Sécante

La droite sécante à deux points $A(x_A,y_A)$ et $M(x_M,y_M)$ appartenant à la fonction est la droite passant par ces deux points. Le coefficient directeur de la sécante vaut :

\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A }=\frac {f(x_A+∆x)-f(x_A )}{\Delta x}

Mathématiques; Dérivation; 1re générale; Dérivée et taux de variation : former la dérivée

On appelle ce nombre le taux de variation de $f$ en $x_A$ .

Note 1 : On note souvent $h$ ou $\Delta x$ la différence entre $x_M$ et $x_A$ .

Tangente

Lorsque $M$ se rapproche de $A$ , c’est-à-dire quand la valeur de $\Delta x$ s’approche de $0$ , on finit par obtenir non plus la droite sécante, mais la droite tangente. On prend donc la limite $\lim_{∆x\rarr0}$ ⁡ .

$\lim_{\Delta x\rarr0)}\frac{f(x_A+∆x)-f(x_A )}{\Delta x}=f'(x_A )$

On appelle nombre dérivé $f' (x_A )$ le coefficient directeur de la droite tangente.


Sécante	Sécante	Tangente

Fonction dérivée

La fonction dérivée $f'(x)$ est la fonction qui, pour chaque $x$ , donne son nombre dérivé.
Si une fonction est croissante en un point, son nombre dérivé en ce point est positif. Si elle est décroissante, le nombre dérivé est négatif.

Note 2 : On note aussi $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ pour le taux de variation et $\frac{dx}{dy}$ pour la fonction dérivée.

Méthode

Former la dérivée et calculer le nombre dérivé en un point.

1.	Calcule le taux de variation : $\frac{f(x_A+∆x)-f(x_A )}{∆x }$
2.	Simplifie la fraction autant que possible.
3.	Détermine la dérivée : calcule la limite $\lim_{\Delta x\rarr 0}$ .
4.	Simplifie le terme autant que possible.

Exemple

Détermine la dérivée de $f(x)=3x^2+2$ à l’aide du taux de variation.
Calcule le nombre dérivé au point $x=2$ .

Établis le taux de variation :

$\frac{f(x_A+∆x)-f(x_A )}{\Delta x}=\frac{(3\times(x_A+∆x)^2+2)-(3x_A^2+2)}{\Delta x}$

Simplifie :

$=\frac{3(x_A^2+2x_A \Delta x+\Delta x^2+2)-3x_A^2-2}{\Delta x}=\frac{6x_A \Delta x+3\Delta x^2}{\Delta x}=6x_A+3\Delta x$

Détermine la dérivée en $x_A$ :

$\lim_{\Delta x\rarr0}(6x_a+3\Delta x^2)=6x_a$

Fonction dérivée pour tout $x$ :

$\underline{f' (x)=6x}$

Nombre dérivé au point $x=2 : f' (2)=6\times2=\underline{12}$ 