Problèmes avec fonctions du second degré

Contexte

On s’intéresse à des problèmes qui peuvent être résolus à l’aide de fonctions polynômes du second degré.

Certaines grandeurs du problème décrivent une fonction polynôme du second degré.

Exemples

	$x$	$y$
Pont	Distance au sol	Hauteur du pont
Profit	Nombre de pièces	Profit en euros

Dans certains exercices la fonction polynôme du second degré est donnée, dans d’autres, on doit la déterminer.

La solution du problème peut être donnée par un point particulier sur la fonction.

Méthode - fonction donnée

1.

Dessine un schéma de la fonction polynôme du second degré et détermine la position de la fonction dans le système de coordonnées. Détermine la signification de l’axe des $x$ et de l’axe des $y$ .

2.

Considère quels points de la fonction résolvent le problème.

POINTS PARTICULIERS	SIGNIFICATION GÉNÉRALE	Exemple - Pont
Racines	Début et fin de quelque chose.	Début et fin du pont
Ordonnée à l'origine	Point de départ sur l'axe des $y$	Hauteur de départ
Sommet	Maximum ou minimum	Point le plus haut
Valeur $y$ pour une valeur $x$ définie	Résultat pour une valeur $x$ définie	Hauteur en un point $x$
Valeur $x$ pour une valeur $y$ définie	Résultats pour une valeur $y$ définie	Points où le pont a la hauteur $y$

3.

Détermine les informations qui sont recherchées à l'aide de la fonction.

Exemple

La fonction $f(x)=-0,005x^2+0,6x-10$  décrit un arc de pont. L’axe des $x$  correspond au parcours sous le pont. Les valeurs de la fonction donnent la hauteur en un point $x$ . Les valeurs de $x$  et $y$  sont des distances en mètres.

Détermine :

a) La longueur du pont (au sol).

b) Le point où le pont atteint sa hauteur maximale et la hauteur des piles du pont à cet endroit. (Les piles sont les appuis verticaux qui soutiennent la structure du pont.)

Schéma :

L’axe des $x$ correspond à la distance parcourue au sol.

L’axe des $y$ est perpendiculaire à l’axe des $x$ et correspond à la hauteur au-dessus du sol.

Mathématiques; Fonctions du second degré ; 1re générale; Problèmes avec fonctions du second degré

a) Longueur du pont = Distance entre les racines de la fonction :

Les racines sont les points où $f(x)=0$ :

$0=-0,005x^2+0,6x-10$

Trouve les racines grâce à la formule $x_1,_2=\frac{-b±√(b^2-4ac}{2a}$ :

$x_1=\frac{-0,6+\sqrt{0,6^2-4×-0,005×-10}}{2×(-0,005)}=20$

$x_2=\frac{-0,6-\sqrt{0,6^2-4×-0,005×-10}}{2×(-0,005)}=20$

Prends la différence : $100-20=80$ . Le pont mesure donc $80$ m de long.

b) Hauteur maximale = Valeur $y$ du sommet :

Détermine le sommet : La valeur $x_s$ du sommet est dans ce cas-ci à distance égale entre les deux racines :

$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{20+100}{2}=60$

Détermine la valeur $y_s$ :

$f(60)=-0,005×60^2+0,6×60-10=8$

Le sommet est $S(60;8)$ .

Le point le plus haut est à $60$ m dans notre système de coordonnées, donc à $40$ m après le début du pont (puisque le pont commence au point $x=20$ ).

La pile du pont au point le plus haut mesure $8$ m de haut.