Fonctions du second degré : optimisation

Problèmes d’optimisation

Dans un problème d’optimisation, une grandeur décrite doit être maximisée ou minimisée.

Ici, nous nous intéressons à des grandeurs qui peuvent être représentées par une fonction polynôme du second degré.

Solution d’un problème d’optimisation

Le maximum ou le minimum de la fonction est décrit par le sommet.

MÉTHODE

1.	Détermine la fonction polynôme du second degré. *Conseil* : Pour t’aider à trouver la fonction polynôme du second degré, tu peux écrire un système d’équation.
2.	Écris la fonction sous forme canonique : $f(x)=a(x-u)^2+v$
3.	Déduis-en les coordonnées du sommet $S(u;v)$ pour trouver les valeurs optimisant l’équation du second degré.
4.	Vérifie si le sommet trouvé est un maximum ou minimum. Pour cela, étudie les points de la fonction aux alentours du sommet trouvé.
5.	Réponds à la question posée par le problème.

Note : Tu peux aussi mettre la fonction de second degré sous forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$ et utiliser la formule du sommet $S(-\frac{b}{2a};f(-\frac{b}{2a}))$ .

Exemple

Le périmètre d’un rectangle mesure $24cm$ . Détermine les longueurs des côtés $x$ et $y$ pour que l’aire du rectangle soit maximale.

Périmètre :

$24=2x+2y$

L’aire $A$ est la grandeur qu’on souhaite optimiser :

$A=xy$

Forme le système d’équations :

$\left\{\begin{array}{rcr}24=2x+2y \\A=xy\end{array}\right.$

Isole $y$ dans la première équation et remplace-le dans la deuxième pour former la fonction $f(x)$ à optimiser :

$\left\{\begin{array}{rcr}y=12-x \\f(x)=A=x(12-x)\end{array}\right.$

Détermine la forme canonique par complétion du carré :

$f(x)$	$=$	$x(12-x)$
$f(x)$	$=$	$-x^2+12x$	(forme développée)
$f(x)$	$=$	$-(x^2-12x)$
$f(x)$	$=$	$-(x^2+2×(-6)x\space\space \underbrace{+ 36 }_{complété}\space \space\underbrace{-36 }_{soustrait})$
$f(x)$	$=$	$-(x-6)^2+36$	(forme canonique)

Déduis les coordonnées du sommet de la forme canonique :

$S(6;36)$

On aurait aussi pu utiliser la formule $-\frac{b}{2a}$ à partir de la forme développée :

$-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2\times(-1)}=6$

$f\big(-\frac{b}{2a}\big)=-6^2+12×6=36$

$S(6;36)$

Vérifie si l’extremum $S(6;36)$ est un maximum ou un minimum en vérifiant les images de $x=5$ et $x=7$ :

$f(5)=35$

$f(7)=35$

Comme l’image de $x=6$ est plus grande que les valeurs avoisinantes, $S(6;36)$ est un maximum.

Remplace $x=6$  pour trouver $y$ :

$y=12-6=6$

Les côtés doivent donc mesurer les deux $6\space cm$ pour maximiser l’aire du rectangle.