Fonctions : théorème des valeurs intermédiaires

Contexte

Le théorème des valeurs intermédiaires s’applique à des fonctions continues sur un intervalle donné.

Théorème

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ et $k$ est un nombre réel compris entre les images $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe au moins un antécédent $s$ dans l’intervalle $[a,b]$ dont l’image est $k$ : $f(s)=k$ .

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Note : Il peut exister plusieurs solutions de l’équation $f(s)=k$ dans l’intervalle $[a,b]$ .

Corollaire

Si $f$ est en plus strictement monotone sur l’intervalle $[a,b]$ alors il existe un unique antécédent $s$ dans l’intervalle $[a,b]$ qui vérifie $f(s)=k$ .

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Note : Ce corolaire est aussi appelé « Théorème de la bijection ».

Application

Méthode

1.

Vérifie que la fonction est strictement monotone sur l’intervalle donné. Pour cela, dérive la fonction et étudie son signe. La fonction est strictement monotone si la dérivée est :

● soit strictement supérieure à $0$ sur l’intervalle,

● soit strictement inférieure à $0$ sur l’intervalle.

2.

Utilise le théorème.

Exemple

La fonction $f(x)=-x^3+2x^2-3x+5$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Prouve que l'’équation $f(x)=0$  n’admet qu’une seule solution.

Calcule la dérivée :

$f'(x)=-3x^2+4x-3$ 

Étudie le signe de la dérivée :

● On se demande s’il existe des nombres réels pour lesquels $f'(x)=0 :$

$-3x^2+4x-3=0$

Calcule le discriminant de l’équation :

$Δ=4^2-4×(-3)×(-3)=-20$

Comme le discriminant est négatif, il n’y a pas de solutions réelles à l’équation $f'(x)=0$ .

● Comme $f'$ n’est jamais égal à $0$ , il suffit d’étudier son signe en un point pour pouvoir déduire son signe sur tout $\mathbb{R}$ , par exemple en $x=0 :$

$f'(0)=-3$

La fonction $f'$ est strictement négative.

La fonction $f$ est donc strictement décroissante et tu déduis donc, grâce au corollaire, que l’équation $f(x)=0$ n’admet qu’une seule solution.