Fonctions : racines et ordonnée à l'origine

Racines d’une fonction

Définition

Une racine d’une fonction est un point d’intersection de la fonction avec l’axe des $x$ . En ce point, la valeur $y$ est zéro : $f(x)=0$ .

Calculer les racines

1.	Pose l’équation : $f(x)=0$ .
2.	Résous pour trouver $x$ .

Conseils pour quelques cas particuliers

FRACTION

Seul le numérateur doit être égal à zéro.

Note : Il faut ensuite vérifier que le résultat ne mène pas à une division par zéro.

Exemple

$\frac{x^2-4}{x+1}=0$	Résous :
	$x^2-4=0$
	Et vérifie :
	$x+1≠0$

RACINE

Seul le contenu de la racine doit être égal à zéro.

Exemple

$√(x^2-9)=0$	Résous :
		$x^2-9=0$

FONCTION EXPONENTIELLE

La fonction exponentielle seule n'a pas de racines.

Exemple

$e^x≠0$

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES : SINUS, COSINUS

Ces fonctions peuvent avoir un nombre infini de racines, qui apparaissent à intervalles réguliers. Vérifie si le contenu des fonctions est égal à l’un des nombres suivants :

Fonction :	Racine quand le contenu est égal à :
$sin(…)$	$…;-2π;-π;0;π;2π;…$
$cos(…)$	$...; -\frac{3π}{2};-\frac{π}{2};\frac{π}{2};\frac{3π}{2};...$

FONCTION FACTORISÉE

Si un terme factorisé est présent, on cherche les racines de chaque terme.

Exemple

$(x-3)xe^x=0$	Résous :
		$x-3=0$ et $x=0$

Ordonnée à l’origine

Définition

L’ordonnée à l’origine $y_0$ d’une fonction est l’intersection de la fonction avec l’axe des $y$ . En ce point la valeur $x$ est zéro : $f(0)=y_0$ .

Calculer l’ordonnée à l’origine

1.	Remplace $x$ par zéro dans la fonction : $f(0)=⋯$
2.	Calcule la valeur de $y_0=f(0)$ .

Exemple

Calcule l’ordonnée à l’origine de :

f(x)=\frac{x^2-4}{x+1}

Remplace $x$ par zéro :

f(0)=\frac{0^2-4}{0+1}=-4

Point d’intersection avec l’axe des $y$ :

S_y (0;-4)