Inéquations du second degré : résolution

Définition

Les inéquations du second degré sont des inéquations où le plus grand exposant de la variable est 2.

$x^2-2x-1>2$

Résoudre des inéquations du second degré

Les inéquations du second degré sont résolues presque comme les équations du second degré. On détermine l’ensemble de solution à partir des solutions de l’équation du second degré.

Méthode

1.	Remplace le signe de l’inéquation par le signe « égal ».
2.	Résous l’équation du second degré.
3.	Détermine les intervalles des valeurs possibles de $x$ : Deux solutions – Trois intervalles : (1) à gauche, (2) entre, et (3) à droite des solutions Une solution – Deux intervalles : (1) à gauche et (2) à droite des solutions Aucune solution – Un intervalle : nombres réels $\R$ .
4.	Vérifie pour chaque intervalle s’il satisfait l’inéquation : Choisis un nombre quelconque dans l'intervalle, évalue l’inéquation et vérifie l’inégalité.
5.	Détermine l’ensemble de solution $\Bbb S$ : Combine les intervalles qui satisfont l’inéquation. Par exemple : $\Bbb S=\{\in \R│ (x\in \text{Intervalle } 1)∨(x\in\text{Intervalle } 2) \}$ Ou écrit sous forme d’intervalles : $\Bbb S=\text{Intervalle } 1∪ \text{Intervalle }2$ *Note :* Le signe « $∨$ * » signifie « ou ». Le signe «* $∪$ » signifie « union ».

Exemple

$x^2-2x-1>2$

Équation du second degré:

$x^2-2x-1=2$

Solutions de l’équation :

$x_1=-1 \text{ et } x_2=3$

Intervalles possibles :

$\Bbb S_1= (-\infty,-1)\\\Bbb S_2= (-1,3)\\\Bbb S_3= (3,\infty)$

Vérification des intervalles avec des valeurs arbitraires :

$\Bbb S_1:$	Évalue en $-2$	$(-2)^2-2(-2)-1=7>2$	L’inégalité est satisfaite.
$\Bbb S_2:$	Évalue en $0$	$(0)^2-2(0)-1=-1\cancel{>}2$	L’inégalité n’est pas satisfaite.
$\Bbb S_3:$	Évalue en $4$	$(4)^2-2(4)-1=7>2$	L’inégalité est satisfaite.

Ensemble de solution :

$\Bbb S=\{x\in\R│(-\infty<x<-1)∨(3<x<\infty) \}$

Ou écrit sous forme d’intervalle :

$\Bbb S=]-\infty,-1[\,∪\,]3,\infty[$