Inéquations linéaires : signes de relation et résolution

Définition

Une inéquation met deux termes en relation.
Les inéquations linéaires sont des inéquations où l’exposant de la variable est 1.

$3x+2>-1$

Signes de relation

$>$	Gauche supérieure à la droite	$x>3$	$x$ est plus grand que $3$ .
$\ge$	Gauche supérieure ou égale à la droite	$x\ge3$	$x$ est plus grand ou égal à $3$ .
$<$	Gauche inférieure à la droite	$x<3$	$x$ est plus petit que $3$ .
$\le$	Gauche inférieure ou égale à droite	$x\le3$	$x$ est plus petit ou égal à $3$ .

Ensemble de solution $\Bbb S$

L’ensemble des valeurs de $x$ qui satisfont l’inéquation, est appelé l’ensemble de solution.
L’ensemble de solution est un ensemble de la forme :

$\Bbb S=\{x\in\R\,|\,x>...\}$

L’ensemble de solution peut aussi être exprimé sous forme d’intervalles :

$\Bbb S=]...\,,+\infty[ $

Résoudre des inéquations linéaires

Les inéquations linéaires sont résolues presque comme des équations linéaires. Il faut être prudent lorsqu’on multiplie/divise par un nombre négatif. Dans ce cas on doit inverser le signe de relation (≤ ↔ ≥ et < ↔ >).

Méthode

1.	Amène toutes les constantes d’un côté de l’inéquation. Amène les termes contenant la variable de l’autre côté.
2.	Simplifie des deux côtés.
3.	Divise par le coefficient de la variable. *Conseil :* S’il est négatif, le signe de relation doit être inversé lors de la division.
4.	Détermine l’ensemble de solution.

Exemple

$3-x>4x+5$
Variable à gauche, constantes à droite :
$3-x$	$>$	$4x+5$	$\rarr$ soustraire $3$ * de chaque côté*
$-x$	$>$	$4x+2$	$\rarr$ soustraire $4x$ * de chaque côté*
$-5x$	$>$	$2$
Divise par le coefficient :
$-5x$	$>$	$2$	$\rarr$ diviser par $–5$ * de chaque côté*
Coefficient négatif $\rarr$ Inverse le signe.
$x$	$>$	$-\frac25$
Ensemble de solution :
$\Bbb S=\{x\in \R │ x<-\frac25\}$
Ou écrit sous forme d’intervalle :
$\Bbb S=]-\frac25,+\infty[$