Le plus important en quelques mots

Si l’inconnue se trouve aussi au dénominateur d’une fraction dans l’équation, on doit d’abord déterminer son « domaine de définition ». Puis, on détermine le résultat de l’équation.

Déterminer le domaine de définition

Le domaine de définition (D) indique quelles valeurs de x peuvent être introduites dans l’équation.
Dans une fraction, le dénominateur ne peut jamais être zéro. Il faut donc exclure les valeurs de x pour lesquelles un dénominateur de l’équation aurait la valeur zéro.

$\Bbb{D} =\R \ \{ \text{'Valeurs x non autorisées'} \}$

Méthode

1.	Trouve les zéros des expressions en x au dénominateur : Écris les équations : expression au dénominateur $=0$ .
2.	Résous les équations en $x$ une par une. *Note 1 :* Tous les résultats sont des « valeurs de x non autorisées ».
3.	Note le domaine de définition : $\Bbb{D}=\R \backslash \{ …\}$ . Toutes les « valeurs de $x$ non autorisées » sont écrites dans la parenthèse.

Exemple

$\frac{3x}{3x-6}=\frac{x+2}{x+3}$
Zéros des expressions au dénominateur :
$3x-6=0\quad\\x=2\quad$	$x+3=0\\x=-3$
Domaine de définition : $\Bbb{D}=\R\backslash \{-3,2\}$

Résoudre l’équation

On peut réduire les fractions au même dénominateur et les multiplier avec le dénominateur commun pour éliminer la variable au dénominateur.

Méthode

1.	Factorise tous les dénominateurs autant que possible. *Conseil :* Utilise la mise en évidence, les identités remarquables ou l’approche à deux termes.
2.	Réduis les fractions au même dénominateur (même facteurs).
3.	Multiplie avec le dénominateur commun pour éliminer toutes les fractions.
4.	Continue à résoudre l’équation comme d’habitude.
5.	Compare les solutions potentielles avec le domaine de définition. *Note 2 :* Les solutions doivent être des valeurs de $x$ autorisées. Si aucune solution potentielle n’appartient au domaine de définition, l’équation n’a pas de solution.

Exemple

Résoudre en $x$
$\frac{3x}{3x-6}$	$=$	$\frac{x+2}{x+3}$
Factorise et réduis :
$\frac{3x}{3(x-2)}$	$=$	$\frac{x+2}{x+3}$
Réduis au même dénominateur :
$\frac{x(x+3)}{(x-2)(x+3)}$	$=$	$\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-2)}$
Multiplie de chaque côté par le dénominateur :
$x(x+3)$	$=$	$(x+2)(x-2)$
Résous l’équation comme d’habitude :
$x^2+3x$	$=$	$x^2-4$	$\rarr$ soustraction de $x^2$ * de chaque côté*
$3x$	$=$	$-4$	$\rarr$ division par 3 de chaque côté
$x$	$=$	$-\frac43$
$x=-\frac43$ Appartient au domaine de définition et est donc une solution.