Factorisation : identités remarquables du 2ᵉ et du 3ᵉ degrés

Identités remarquables du deuxième degré

Binômes

Les identités remarquables du second degré servent de raccourci lors de la multiplication de deux parenthèses contenant des binômes. Inversement, on s’en sert aussi pour factoriser des expressions.

Note 1 : Binôme signifie composé de 2 termes. Second degré signifie élevé à la puissance 2.

Les parenthèses sont formées à partir de deux mêmes termes $a$ et $b$ :

(a+b)^2

ou

(a-b)^2

ou

(a+b)(a-b)

	Formule	Exemple
1^ère Identité remarquable	$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$	$(x+5)^2=x^2+10x+25$
2^ème Identité remarquable	$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$	$(x-7)^2=x^2-14x+49$
3^ème Identité remarquable	$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$	$(4-x)(4+x)=16-x^2$

Identités remarquables du troisième degré

On peut utiliser les formules suivantes pour les cubes de binômes :

	Formule	Exemple
Identités remarquables Du Troisième Degré	$(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3\\(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$	$(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8\\(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1$

Factorisation

La factorisation peut être vue comme l’inverse du développement. On peut donc utiliser les formules vues ci-dessus dans le sens inverse. L’idée est de transformer une somme en un produit de parenthèses.

Méthode

1.	Repère les termes qui sont des carrés et prends leur racine pour déterminer les valeurs de $a$ et $b$ .
2.	Si tu trouves deux carrés et que l’un des deux est négatif $(a^2-b^2)$ , utilise la troisième identité remarquable. Si les deux carrés sont positifs $(a^2+b^2)$ , cherche un terme de la forme $2ab$ . Utilise la première identité si ce terme est positif et la deuxième s’il est négatif.

Note 2 : Si les deux carrés sont négatifs, tu peux mettre $(-1)$ en facteur et changer tous les signes.

Exemple

Factorise l’expression suivante : $9x^2+4-12x$

Cherche les carrés : $9x^2=(3x)^2 \text{ et } 4=2^2$

On a : $a=3x \text{ et } b=2$ .
Cherche un terme de la forme $2ab$ : $2ab=2\times3x\times2=12x$ .

Ce terme est négatif dans notre expression $\rarr$  Deuxième identité remarquable :

$9x^2+4-12x=\underline{(3x-2)^2}$