Valeur absolue : définitions, conseils et distances

Définition

La valeur absolue (ou le module) d’un nombre ou d’un terme est sa valeur sans signe (plus ou moins). Elle donne toujours un résultat positif.

On écrit $|x|$ pour la valeur absolue de $x$ :

$|x| = \begin{cases}x&\text{pour } x\ge0 \\-x&\text{pour } x<0\end{cases}$

$|2|=2\\|-5|=5$

ADDITION/ SOUSTRACTION	Le terme entre les barres verticales doit d’abord être calculé.	$\|2-3\|=\|-1\|=1$ Note: $\|2-3\|\ne\|2\|-\|3\|=-1$
MULTIPLICATION/ DIVISION	Le terme entre les barres verticales peut être séparé en plusieurs termes.	Multiplication : $\|2 \times (-3)\|=\|2\| \times \|-3\|=2 \times 3=6$ Division : $\|\frac{-2}{3}\|=\frac{\|-2\|}{\|3\|}=\frac23$

La valeur absolue est utilisée pour calculer la distance $d(a;b)$ de l’intervalle entre deux nombres réels $a$ et $b$ .

Note : La distance de $a$ à $b$ est égale à la distance de $b$ à $a$ , donc $|b-a|=|a-b|$ .

Donner l’intervalle entre $-7$ et $-2$ .

$d(-7;-2)=|-7-(-2)|=|-7+2|=|-5|=\underline5$

On obtient bien le même résultat si on prend la différence opposée :

$|-2-(-7)|=|-2+7|=|+5|=\underline5$