Racine carrée : définition, propriétés et calculs

Définition

La racine carrée est l’inverse de la puissance $2$ . On cherche le nombre qui multiplié par lui-même (au carré) donne le nombre sous la racine. On l’écrit $\sqrt[2]{x}$ ou $\sqrt{x}$ .

Exemples

$\sqrt{1}=1$	$\sqrt{4}=2$	$\sqrt{9}=3$	$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{25}=5$	$\sqrt{36}=6$	$\sqrt{64}=8$	$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{100}=10$	$\sqrt{121}=11$	$\sqrt{144}=12$

Notes :

Pas tous les nombres ont une racine entière. Les résultats sont parfois des nombres décimaux irrationnels (sans période).	$\sqrt{3}=1,732...\\\sqrt{7}=2.646...$
Les termes sous la racine doivent toujours être positifs. Il n'existe aucun nombre réel dont le carré est négatif.	$\sqrt{-49}=?\\-49=x^2$ Pas possible : Aucune solution réelle.

Propriétés des racines

$(\sqrt{x})^2=x$	Par définition, puisque la racine carrée est l’inverse de la puissance $2$ .
$\sqrt{x^2}=\|x\|$	Puisque le carré d’un nombre négatif est positif, $\sqrt{x^2}=\sqrt{(-x)^2}$ . Donc si $x\ge0$ , $\sqrt{x^2}=x$ . Si $x\le0$ , $\sqrt{x^2}=-x$ . On regroupe ces deux solutions avec la valeur absolue $\|x\|$ .

Calculer avec les racines

Règles de calcul

Addition et soustraction	De deux racines : D’abord calculer les racines puis additionner/soustraire Sous la racine : D’abord additionner/soustraire puis prendre la racine	$\sqrt{x+y}\ne\sqrt{x}+\sqrt{y}\\\sqrt{x-y}\ne\sqrt{x}-\sqrt{y}$
Multiplication et division	Soit calculer les racines séparément puis multiplier/diviser, soit multiplier/diviser sous la racine	$\sqrt{x\times y}=\sqrt{x}\times\sqrt{y}\\\sqrt{\frac xy}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$
Racine d’une racine	Multiplier les indices des racines	$\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[m\times n]{x}$
Élever une racine à une puissance	L’ordre des racines et des puissances est interchangeable.	$(\sqrt[n]{x})^m=\sqrt[n]{x^m}$

Méthode pour les exercices types

Résoudre une équation

Méthode

1.	Procédure habituelle pour isoler l’inconnue
2.	Extraire la racine carrée

Exemple

$2x^2-18=32$

Isoler $x^2$ :

$x^2=25$

Extraire la racine :

$x=\sqrt{25}\\\underline{x=5}$

Racine de nombres décimaux

Méthode

1.	Convertis le nombre en fraction.
2.	Calcule les racines du numérateur et du dénominateur séparément.

Exemple

$\sqrt{2,25}=\sqrt{\frac{225}{100}}=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{100}}=\frac{15}{10}=\frac32$