Puissances - Définition, cas spéciaux et simplifier

Définition

La puissance est le résultat d’un calcul avec un exposant. L’exposant indique combien de fois un nombre doit être multiplié par lui-même pour obtenir la puissance.

2^3=2\times2\times2=8

Mathématiques; Puissances; 3e; Puissances - Définition, cas spéciaux et simplifier

Cas spéciaux

Puissance zéro

On obtient toujours 1.

Exemple

$3^0=1$

Puissance un

On obtient toujours la base.

Exemple

$4^1=4$

Carré et cube

Lorsqu’on calcule la puissance 2, on dit qu’on élève « au carré ».
Pour la puissance 3, on parle de « cube ».

Le carré d’un entier naturel est aussi appelé un carré parfait.

Exemple

Les carrés parfaits des bases de 1 à 12 :

1^2=1\times1=1

2^2=2\times2=4

3^2=3\times3=9

4^2=4\times4=16

5^2=5\times5=25

6^2=6\times6=36

7^2=7\times7=49

8^2=8\times8=64

9^2=9\times9=81

10^2=10\times10=100

11^2=11\times11=121

12^2=12\times12=144

Exposant négatif

Une puissance négative correspond à l’inverse de la puissance positive. On écrit une fraction en plaçant la base avec l’exposant opposé au dénominateur.

L’exposant devient positif.
Le coefficient devient le numérateur.

Exemples

9^{-4}=\frac{1}{9^4}

2\times3^{-1}=\frac{2}{3^1}

Simplifier des puissances

Méthode pour multiplier

1. Développe les puissances en écrivant la puissance sous forme de facteurs autant de fois que l’indiquent les exposants.

2. Regroupe l’ensemble des facteurs sous la forme d’une seule puissance.

Exemple

Simplifie le produit $5^5\times5^2$ .

$5^5\times5^2=(5\times5\times5\times5\times5)\times(5\times5)=5^{5+2}=\underline{5^7}$

Le nombre est en réalité multiplié par lui-même à 7 reprises.

Méthode pour diviser

1. Développe les puissances en écrivant la puissance sous forme de facteurs autant de fois que l’indiquent les exposants.

2. Élimine, en les barrant, les facteurs que tu retrouves à la fois dans le numérateur et dans le dénominateur.

3. Regroupe l’ensemble des facteurs sous la forme d’une seule puissance.

Exemple

Simplifie le quotient $6^5 ∶6^3$ .

$\frac{6^5}{6^3}=\frac{\cancel6\times\cancel6\times\cancel6\times6\times6}{\cancel6\times\cancel6\times\cancel6}=6\times6=\underline{6^2}$

Tu peux éliminer le facteur 6 à trois reprises, dans ton numérateur et ton dénominateur. Le nombre est en réalité multiplié par lui-même à 2 reprises.

Tu peux aussi faire : $\frac{6^5}{6^3}=6^{5-3}=\underline{6^2}$ 