Plus grand commun diviseur (PGCD) et plus petit commun multiple (PPCM)

PGCD – Plus grand commun diviseur

Définition

Le PGCD de deux ou plusieurs nombres est le plus grand nombre par lequel les nombres sont divisibles. Il est aussi appelé le plus grand diviseur commun (PGDC).

Exemple

PGCD de $56$ et de $84$ :

Diviseurs de $56 : 1,2,4,7,8,14,28,56$
Diviseurs de $84 : 1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84$

$\rarr$ PGCD : $28$ 

Déterminer le PGCD

Méthode

1.	Décompose les nombres en leurs facteurs premiers.
2.	Note les facteurs qui apparaissent dans chaque décomposition.
3.	Multiplie ces facteurs.

Exemple

PGCD de $56$ et $84$ :

Décomposition en produit de facteurs premiers :

R	FP
$56$	$2$
$28$	$2$
$14$	$2$
$7$	$7$
$1$

R	FP
$84$	$2$
$42$	$2$
$21$	$3$
$7$	$7$
$1$

Facteurs premiers en commun : deux fois $2$ et une fois $7$ .

PGCD : $2\times2\times7=28$

PPCM – Plus petit commun multiple

Définition

Le PPCM de deux ou plusieurs nombres est le plus petit nombre qui est un multiple commun à tous ces nombres. Il est aussi appelé le plus petit multiple commun (PPMC).

Exemple

PPCM de $12$ et $16$ :

Multiples de $12 : 12,24,36,48,60,…$
Multiples de $16 : 16,32,48,64,…$

$\rarr$ PPCM : $48$

Déterminer le PPCM

Méthode

1.	Décompose les nombres en leurs facteurs premiers.
2.	Note combien de fois les facteurs apparaissent.
3.	Multiplie tous les facteurs : Chaque facteur avec lui-même autant de fois qu’il apparaît au maximum. Puis tous les facteurs ensemble.

Exemple

PPCM de $12$ et $16$ :

Décomposition en produit de facteurs premiers :

R	FP
$12$	$2$
$6$	$2$
$3$	$3$
$1$

R	FP
$16$	$2$
$8$	$2$
$4$	$2$
$2$	$2$
$1$

Décomposition :

2 \times2\times3

Décomposition :

2\times2\times2\times2 ​

Tous les facteurs premiers :

$2$ : au maximum $4$ fois
$3$ : au maximum $1$ fois

PPCM : $2\times2\times2\times2\times3=48$