Nombres réels : rationnels, irrationnels et règles

Définition

Un nombre réel est un nombre qui peut être écrit sous la forme d’un nombre entier suivi d’un nombre fini ou infini de décimales.

L’ensemble des nombres réels est noté $\R$ .

On peut séparer la totalité des nombres réels en nombres rationnels et irrationnels.

Nombres rationnels

Nombres qui peuvent être écrits comme fraction de deux entiers relatifs : $\frac pq$

Exemples

$0.\underline{3}=0.3333333...=\frac13$ (Périodique)
$0.8=\frac45$ (Développement décimal s’arrête)

Note : L’ensemble des nombres rationnels est désigné par $\Bbb Q$ .

Nombres irrationnels

Nombres dont la notation décimale est non périodique et infinie.

Exemples

$\pi$
$\sqrt2$

Note : Un nombre irrationnel peut être encadré par deux nombres rationnels.

Exemple $3,14 < \pi < 3,15$

Racines de nombres premiers

Les racines des nombres premiers sont toujours irrationnelles :

$\sqrt2=1.4142…$
$\sqrt3=1.7320…$
$\sqrt5=2.2360…$
$…$

Règles de calcul

Les règles de calcul des nombres rationnels sont aussi valables pour les nombres irrationnels.
Fais attention : le résultat d’un calcul avec des nombres irrationnels peut être un nombre rationnel.
Fais d’abord ton calcul avant de déterminer si le nombre est rationnel ou pas.

Exemples

	Exemple avec $\sqrt2$	est irrationnel
Addition	$\sqrt2+\sqrt2=2.82...$	est irrationnel
Soustraction	$\sqrt2-\sqrt2=0$	est irrationnel
Multiplication	$\sqrt2 \times\sqrt2=2$	est rationnel
Division	$\sqrt2:\sqrt2=1$	est rationnel