Équilibre de marché – Fonctions non affines

Dans un marché de concurrence parfaite, l’offre et la demande peuvent aussi être modélisées à l’aide de fonctions non affines.

Equilibre de marché

Le point d’équilibre de marché est à l’intersection des fonctions d’offre et de demande. En ce point, les prix et quantités de l’offre coïncident avec ceux de la demande.

MÉTHODE

1.

On cherche le point où l’offre et la demande coïncident. On pose alors une équation avec la fonction de l’offre d’un côté de l’égalité et la fonction de la demande de l’autre côté :

2.

Résous l’équation en isolant l’inconnue $x$ . La valeur obtenue est la quantité d’équilibre.

Pour les fonctions quadratiques :

Rassemble tous les termes d’un côté de l’égalité. L’autre côté est alors 0. Résous l’équation à l’aide de la méthode du discriminant ou de la factorisation.

3.

Substitue la valeur de $x$ dans la fonction de l’offre ou de la demande pour calculer le prix d’équilibre $y$ .

Remarque : On peut aussi déterminer le point d’équilibre en dessinant la courbe de l’offre et de la demande dans un même système de coordonnées. Il suffit alors de lire les coordonnées du point d’intersection.

Exemple - Calcule le point d’équilibre d’un marché dans lequel l’offre est modélisée par la fonction $y=\frac{3}{4}x^2+12$  et la demande par la fonction $\frac{1}{4}x^2-9x+116$ .

Pose l’égalité entre les deux fonctions :

$\frac{3}{4}x^2+12=\frac{1}{4}x^2-9x+116$ 

Simplifie les termes et place-les d’un côté de l’égalité :

$x^2+18x-208=0$ 

Factorise :

$\left(x-8\right)\cdot\left(x+26\right)=0$ 

Solution :

$x=\left\{-26,\ 8\right\}$ 

Les solutions représentent les quantités d’équilibre. Comme une quantité négative n’a pas de sens, on ne retient que la deuxième solution $x=8$ .

Calculer $y$ en substituant la valeur de $x$ dans la fonction d’offre :

$y=\frac{3}{4}\cdot8^2+12=60$ 

Le prix d’équilibre est de CHF 60 et la quantité d’équilibre est de 8 unités.