Solides d'Archimède : propriétés, arêtes et sommets

Définition

Les solides d’Archimède sont des solides réguliers dont les faces sont constituées d’au moins deux polygones réguliers différents. Ils sont nommés ainsi car ils ont été découverts par Archimède.

Propriétés

Propriétés générales

Les faces sont des polygones réguliers, c’est-à-dire que leurs côtés sont de même longueur (triangles équilatéraux, carrés, pentagones équilatéraux, etc.).
Contrairement aux solides de Platon, tous les côtés ne sont pas égaux

Attention : un prisme n’est pas considéré comme un solide d’Archimède.

Exemple – grand « cuboctaèdre tronqué » ou « cuboctaèdre rhombitronqué »

Mathématiques; Propriétés des solides; 11e Harmos / CO; Solides d'Archimède : propriétés, arêtes et sommets

Calculer le nombre d’arêtes

Combien d’arêtes un solide d’Archimède possède-t-il ?

MÉTHODE

1.	Détermine le nombre de faces de chaque forme : $N_1,\ N_2,\ \cdots$
2.	Pour chaque type de face, détermine le nombre de côtés qu’elle possède : $m_1,\ m_2,\ \cdots$
3.	Calcule le nombre d’arête du solide : $\frac{N_1\cdot m_{1\ }+\ N_2\cdot m_2\ +\ \cdots}{2}$

Exemple sur le cuboctaèdre rhombitronqué (voir ci-dessus)

Nombre de faces carrées : $N_1=12$	Nombre de côtés par carré : $m_1=4$
Nombre de faces hexagonales : $N_2=8$	Nombre de côtés par hexagone : $m_2=6$
Nombre de faces octogonales : $N_3=6$	Nombre de côtés par octogone : $m_3=8$

Nombre total d’arêtes :

$\frac{12\cdot4+8\cdot6+6\cdot8}{2}=\underline{72\ ar\hat{e}tes}$

Calculer le nombre de sommets

Combien de sommets un solide d’archimède possède-t-il ?

MÉTHODE

1.	Détermine le nombre de faces de chaque forme : $N_1,\ N_2,\ \cdots$
2.	Pour chaque type de face, détermine le nombre de sommets qu’elle possède : $m_1,\ m_2,\ \cdots$
3.	Détermine le nombre de faces adjacentes à chaque sommet.
4.	Calcule le nombre de sommets : $\frac{N1 \cdot m1 + N2 \cdot m2 + ⋯}{Nombre\ de\ faces\ adjacentes\ à\ chaque\ sommet}$

Exemple sur le cuboctaèdre rhombitronqué (voir ci-dessus)

Nombre de faces carrées : $N_1=12$	Nombre de sommets par carré : $m_1=4$
Nombre de faces hexagonales : $N_2=8$	Nombre de sommets par hexagone : $m_2=6$
Nombre de faces octogonales : $N_3=6$	Nombre de sommets par octogone : $m_3=8$

Nombre de faces adjacentes à chaque sommet : 3

Nombre total de sommets :

$\frac{12\cdot4+8\cdot6+6\cdot8}{3}=\underline{48\ sommets}$