Fonction racine : propriétés et déplacements

Définition

Dans une fonction racine, la variable apparaît sous une racine.

$f\left(x\right)=x^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{x}$

La fonction racine est la fonction inverse $f^{-1}$ de la fonction puissance $f$ (pour $n\in\mathbb{N}$ ) :

$f \leftrightarrow f^{-1}\\x^n \leftrightarrow \sqrt[n]{x}$

Remarque : Pour les fonctions puissances avec un exposant pair, on ne peut considérer que des valeurs $x$ positives. Sinon l’attribution inverse n’est pas une fonction.

Fonctions de base

Les fonctions puissances de la forme $x^\frac{1}{2},x^\frac{1}{3},x^\frac{1}{4},\ \ldots$ peuvent être appelées fonctions de base des fonctions racines.

f\left(x\right)=x^\frac{1}{2}=\sqrt x

f\left(x\right)=x^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{x}

f\left(x\right)=x^\frac{1}{4}=\sqrt[4]{x}

\dots

Domaine de définition $\mathbb{D}$

$n$ pair

La fonction n’est que définie pour les valeurs positives de $x$ ( $x\geq0$ ) :

$\mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+$

$n$ impair

La fonction est définie pour tous les nombres réels :

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Image de la fonction

$n$ pair	Les valeurs $y$ de la fonction sont toujours positives ( $y\geq0$ )
$n$ impair	La fonction peut prendre tous les nombres réels comme valeur $y$

Propriétés

Chaque fonction de base…

passe par les points $(0;0)$ et $(1;1)$ .
avec exposant $n$ impair passe aussi par le point $(-1;-1)$ .
est strictement croissante.

Graphe

$n$ pair $\sqrt x,\ \sqrt[4]{x},\sqrt[6]{x},\ldots$	$n$ impair $\sqrt[3]{x},\sqrt[5]{x},\sqrt[7]{x},\ldots$

Remarque : Regarde où les graphes s’intersectent : Chaque fonction de base passe par le point $(1;1)$ et $\left(0;0\right)$ . Chaque fonction de base avec exposant $n$ impair passe par le point $(-1;-1)$ .
Tableau de valeurs pour $f(x)=\sqrt x$ :	Tableau de valeurs pour $f(x)=\sqrt[3]{x}$ :

Fonctions racines générales

Les fonctions racines ont une forme obtenue à partir de la fonction de base.

Formule

La fonction de base est modifiée par les paramètres $a,\ u$ et $v$ .

$a$ :	facteur
$u$ :	déplacement dans la direction de l’axe des $x$
$v$ :	déplacement dans la direction de l’axe des $y$
$P(u;v)$ :	point de départ / origine de la fonction

Domaine de définition

$n$ pair

Le terme sous la racine doit être positif : $\ x-u\geq0$ (soit $x\geq u$ )

$\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq u}$

$n$ impair

La racine est définie pour toutes les valeurs réelles de $x$ :

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Facteur

$\left\|\mathbf{a}\right\|>\mathbf{1}$ : ÉTIREMENT DANS LA DIRECTION $y$	$\left\|\mathbf{a}\right\|<\mathbf{1}$ : ÉTIREMENT DANS LA DIRECTION $y$

$a$ NÉGATIF – SYMÉTRIE AUTOUR DE L’AXE DES $x$

Déplacements horizontaux et verticaux

$\mathbf{u}<\mathbf{0}$ : HORIZONTAL VERS LA GAUCHE	$\mathbf{u}>\mathbf{0}$ : HORIZONTALE VERS LA DROITE

$\mathbf{v}<\mathbf{0}$ : VERTICAL VERS LE BAS	$\mathbf{v}>\mathbf{0}$ : VERTICAL VERS LE HAUT