Fonctions quadratiques : optimisation

Problèmes d’optimisation

Dans un problème d’optimisation, une grandeur décrite doit être maximisée ou minimisée.

Ici, nous nous intéressons à des grandeurs qui peuvent être représentées par une fonction quadratique.

Le maximum ou le minimum de la fonction est décrit par le sommet.

1.	Détermine la fonction quadratique. Conseil : Si c’est possible, utilise les paramètres de la fonction. Si trois points sont donnés, tu peux déterminer la fonction à l’aide d’un système d’équations.
2.	Écris la fonction en forme paramétrique.
3.	Extrais les coordonnées du sommet. Ces valeurs optimisent l’équation quadratique et sont donc la solution du problème.
4.	Réponds à la question posée par le problème.

Le périmètre d’un rectangle mesure 24cm. Détermine les longueurs des côtés $a$ et $b$ pour que l’aire du rectangle soit maximale.

Côtés :

$a$ et $b$

Périmètre :

$24=2a+2b$

Transforme :

$b=12-a$

Équation de la fonction - Aire :

$Aire=a\cdot b : f\left(a\right)=a(12-a)$

Déterminer la forme paramétrique :

$f(a) = a(12-a)\\f(a) = -a^2+12a\\f(a) = -(a^2-12a)\\f(a) = -{(a-6)}^2+36$

Sommet :

$S(6;36)=(a;f_{max})$

Côtés du rectangle maximal :

$a=6\ cm, b=6\ cm$