Factorisation : mise en évidence et approche à deux termes

Définition

La factorisation est la séparation d’une expression en facteurs :

Nombres multipliés
Variables
Parenthèses

Exemple

$\underbrace{\underbrace{3}\cdot\underbrace{x}\cdot\underbrace{\left(3x+2\right)}\cdot\underbrace{\left(x-1\right)}\cdot\underbrace{\left(1+x\right)}}_{Facteurs}$

Méthode pour la factorisation

Vérifie dans l’ordre si on peut transformer l’expression donnée avec les étapes suivantes :

Mets en évidence les nombres et variables des parenthèses.
Applique les identités remarquables.
Applique l’approche à deux termes.

Mise en évidence

Si possible, mets en évidence un diviseur commun et/ou une variable commune de l’expression (ou d’une partie de l’expression) à factoriser.

Remarque : Quand on « met un terme en évidence », on divise l’expression par ce terme, on l’écrit en premier puis on multiplie avec le résultat de la division.

Exemple

$9x^2+6x$

Commun : diviseur $3$ et variable $x$

Mettre en évidence 3 et $x$ :

$=3x\cdot\left(3x+2\right)$

Identités remarquables (voir résumé : Identités remarquables)

CONDITION

Le terme donné a la forme développée d’une identité remarquable :

$1^{ère}\ IR\ ∶\ a2+2ab+b2=(a+b)2$
$2^{ème}\ IR\ ∶\ a2-2ab+b2=(a-b)2$
$3^{ème}\ IR\ ∶\ a2-b2=(a+b)(a-b)$

MÉTHODE

1.	Trouve l’identité remarquable qui convient.
2.	Détermine $a$ et $b$ .
3.	Écris la forme factorisée (avec parenthèses) de l’identité avec les valeurs trouvées pour $a$ et $b$ .

Exemple

$x^2+10x+25$

Forme de la première identité remarquable

Valeurs :

$a=x\\b=5$ 

Forme factorisée :

$=\left(x+5\right)^2$ 

Approche à deux termes

CONDITION

L’expression donnée a trois termes :

$x^2+\left(a+b\right)x+ab$

On peut trouver deux nombres :

Qui donnent le coefficient de $x$ quand on les additionne.
Qui donnent le terme sans $x$ quand on les multiplie.

Conseils : Si le terme sans $x$ est négatif, $a$ ou $b$ est négatif.

MÉTHODE

1.	Détermine $a$ et $b$ .
2.	Écris la forme factorisée $\left(x+a\right)\left(x+b\right)$ avec les valeurs trouvées pour $a$ et $b$ .

Exemple

$x^2+6x+8$

Paire de nombres correspondante :

$a=2\\b=4$ 

Forme factorisée :

$=\left(x+2\right)\left(x+4\right)$ 

Simplifier une fraction

Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont sous une forme factorisée, on peut la simplifier en enlevant les facteurs se trouvant à la fois en haut et en bas de la barre de fraction.

MÉTHODE

1.	Factorise le numérateur et le dénominateur.
2.	Cherche les facteurs se trouvant à la fois dans le numérateur et dans le dénominateur.
3.	Simplifie la fonction en enlevant les facteurs trouvés à l’étape 2.

Exemple

Simplifie la fraction suivante :

$\frac{x^2+6x+8}{{2x}^2+8x+8}$

Factorise le numérateur et le dénominateur :

$\frac{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}{2\left(x+2\right)^2}$

Facteur en commun : $\left(x+2\right)$

Simplification :

$\frac{\left(x+4\right)}{2\left(x+2\right)}=\frac{x+4}{2x+4}$ 