Nombres complexes - Conversion de formes

Tableau récapitulatif

Les trois façons les plus courantes de représenter des nombres complexes sont résumées dans ce tableau :

Nom	Forme générale	Caractéristiques
FORME ALGÉBRIQUE	$z=a+bi$ $a,\ b$ sont des nombres réels.	Partie réelle $Re(z)=a$ Partie imaginaire $Im(z)=b$ Facile à additionner et soustraire
FORME TRIGONOMÉTRIQUE	$z=r(cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi))$ $r$ est un réel positif. $\varphi$ est un angle donné en radians.	Module $\left\|z\right\|=r$ Argument $Arg(z)=\ \varphi$ Facile à multiplier et diviser
FORME EXPONENTIELLE	$z={re}^{i\varphi}$ $r$ est un réel positif. $\varphi$ est un angle donné en radians.	Module $\left\|z\right\|=r$ Argument $Arg(z)=\ \varphi$ Facile à multiplier et diviser

Conversion de forme

Forme trigonométrique et exponentielle

Pour passer de la forme trigonométrique à la forme exponentielle (ou vice versa), aucun calcul n’est nécessaire. Il suffit de prendre la valeur de et de pour écrire le nombre sous la nouvelle forme.

MÉTHODE

1.	Rassemble les termes pour obtenir la forme standard $z=r(cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi))$ ou $z={re}^{i\varphi}$ .
2.	Détermine la valeur de $r$ et de $\varphi$ .
3.	Remplace ces valeurs dans la forme voulue.

Exemples :

Écris $\sqrt2\left(cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\$  sous forme exponentielle.

r=\sqrt2

,

\varphi=\frac{3\pi}{4}

Mathématiques; Introduction; 4e Collège; Nombres complexes - Conversion de formes

$z={re}^{i\varphi}=\sqrt2\ e^{\frac{3\pi}{4}i}$

Écris $3e^{\pi i}$  sous forme trigonométrique.

$r=3$ , $\varphi=\pi$

Mathématiques; Introduction; 4e Collège; Nombres complexes - Conversion de formes

z=3(cos(\pi)+i\cdot sin(\pi))

De la trigonométrique à l’algébrique

Pour passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique, il suffit de développer l’expression.

MÉTHODE

1.	Supprime les parenthèses en distribuant la multiplication.
2.	Évalue éventuellement les fonctions trigonométriques.
3.	Rassemble les termes contenant un $i$ et mets ce $i$ en évidence si nécessaire.

Exemple :

Écris $\sqrt2\left(cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\$ sous forme arithmétique.

$\sqrt2\left(cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)=\\\sqrt2\cdot cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sqrt2\cdot i\cdot sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=\\\sqrt2\cdot\left(\frac{-1}{\sqrt2}\right)+\sqrt2\cdot i\cdot\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=-1+i$

De l’algébrique à la trigonométrique

À partir de la forme algébrique $z=a+bi$ , on peut facilement trouver la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe : $Re(z)=a\$ et $Im(z)=b$ . Ces valeurs nous permettent de calculer le module et l’argument du nombre.

MÉTHODE

1.	Repère la partie réelle $a$ et la partie imaginaire $b$ .
2.	Calcule le module $r$ à l’aide du théorème de Pythagore : $r=\left\|z\right\|=\sqrt{{Re(z)}^2+{Im(z)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}$
3.	Détermine l’argument $\varphi$ sachant que $cos(\varphi)=\frac{a}{r}$ et que $sin(\varphi)=\frac{b}{r}$ . Conseil : Aide-toi d’une table de valeurs.
4.	Substitue les valeurs trouvées dans la formule : $z=r(cos(\varphi)+i\cdot sin(\varphi)).$

Exemple :

Écris $z=2+2i$  sous forme trigonométrique.

$a=2,\ \ b=2$

Calcule le module :

$r=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2$ 

Détermine l’argument $\ \varphi$ :

$cos(\varphi)=\frac{a}{r}=\frac{2}{2\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\\sin(\varphi)=\frac{b}{r}=\frac{2}{2\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}$ 

A l’aide d’une table de valeurs, on détermine que $\varphi=\frac{\pi}{4}.$ 

$z=2\sqrt2\left(cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot s i n\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$ 