Définitions

On s’intéresse souvent à deux types de symétrie possibles chez une fonction :

Symétrie par rapport à l’axe des $y$  : est-ce que la fonction est reflétée de part et d’autre de l’axe des $y$ ? Dans ce cas on dit que la fonction est « paire ».
Symétrie centrale par rapport à l’origine : est-ce que la fonction est pivotée de 180° autour de l’origine (point $(0;0)$ ) ? On dit que la fonction est « impaire ».

Règles

Les règles suivantes sont utilisées pour vérifier la symétrie de la fonction :

Symétrie

Règle

Fonction paire

$f(x)=f(-x)$

Est-ce que la fonction prend la même valeur si on remplace chaque $x$ par $-x$ ?

Si oui, la fonction est symétrique par rapport à l’axe des $y.$

Fonction impaire

$f(x)=-f(-x)$

Est-ce que la fonction prend la même valeur si on remplace chaque $x$ par $-x$ et on met un signe moins devant la fonction ?

Si oui, la fonction est symétrique par rapport à l’origine.

Exemples

Vérifier qu’une fonction est paire

Vérifier qu’une fonction est impaire

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{x^2}$

$f\left(x\right)=\frac{1}{x^3}+2x$

Utilise la définition de $f:$

$f\left(-x\right)=\frac{1}{2}e^{\left(-x\right)^2}=\frac{1}{2}e^{x^2}=f\left(x\right) \ \ \ \ \left(\surd\right)$

La fonction est symétrique par rapport à l’axe des y.

Utilise la définition de $f:$

$-f\left(-x\right)=-\left(\frac{1}{\left(-x\right)^3}+2\left(-x\right)\right)\\=-\left(-\frac{1}{x^3}-2x\right)\\=\frac{1}{x^3}+2x=f\left(x\right)\ \ \ \ \left(\surd\right)$

La fonction est symétrique par rapport à l’origine.

Remarque : $cos\left(x\right)$ est une fonction paire ; $sin\left(x\right)$ est une fonction impaire.

Conseils pour les fonctions puissances

Si une fonction puissance n’a que des exposants impairs ( $x^1,\ x^3,{\ x}^5\ldots$ ) elle est impaire.
Si une fonction puissance n'a que des exposants pairs ( $x^2,\ x^4,{\ x}^6\ldots$ ) elle est paire.