Dilatación del tiempo

Es importante entender el concepto de tiempo propio. El tiempo propio es el intervalo temporal entre dos sucesos, medido en un sistema de referencia en el que los sucesos ocurren en el mismo lugar.

¿El reloj del avión estará roto? Marca las 12:00, por lo que va atrasado con respecto al del aeropuerto...

¿El reloj del aeropuerto estará roto? Va retrasado con respecto al del avión, que marca las 12:07...

En el sistema de referencia $S$ , el intervalo entre dos sucesos en instantes $t_1 \ \text{y} \ t_2$ $\Delta t =t_2-t_1$ .Estos sucesos, vistos desde el sistema de referencia $S'$ ocurren en:

$\begin{Bmatrix}t_1' = \gamma \left(t_1 - \cfrac{vx}{c^2}\right) \\\\t_2' = \gamma \left(t_2 -\cfrac{vx}{c^2}\right)\end{Bmatrix}$

Recuerda que: El sistema de referencia $S'$ se mueve a una velocidad $v$ respecto al sistema $S$ sobre el eje $X$ 

Entonces, un observador en el sistema $S'$ verá un intervalo temporal de:

${\underline{\Delta t'} = t_2'-t_1' = \gamma\left(t_2-t_1\right) = \underline{\gamma \Delta t}}$

Donde

$\gamma = \cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\cfrac{v}{c}\right)^2}}>1$

Esto implica que $\Delta t '> \Delta t$ , por lo que el tiempo visto desde $S'$ pasa más lento.

Así, el tiempo medido en un sistema de referencia en movimiento será siempre mayor que el tiempo propio del sistema.

Ejemplo

Vamos a calcular la velocidad de una nave para que desde Tierra se mida un tiempo del $\it 10 \%$ del propio, medido desde la nave.

Planteamiento

Sabemos que $\Delta t' = \gamma \Delta t$ , y según los datos del enunciado $\Delta t' = \cfrac{\Delta t}{0,1}$ . Esto quiere decir que

\gamma = \cfrac{1}{0,10}

. Entonces:

{0,10} = \sqrt{1-\left(\cfrac{v}{c}\right)^2}

Despejando el cociente $\cfrac{v}{c}$ tenemos:

\cfrac{v}{c}=0,99

Solución

$\underline{\text{La velocidad a la que tiene que ir la nave es }v=0,99c}$ 