Oscilador armónico II: Péndulo simple

Péndulo simple

Se estudia el péndulo simple como un movimiento armónico simple cuando un cuerpo de masa $m$ sujeto por una cuerda inextensible de longitud $L$ oscila libremente con un ángulo menor a los $11º$ .

Período de oscilación de un péndulo simple

Se demuestra que si se cumplen las condiciones anteriores el período de un péndulo simple es:

$T=2\pi \sqrt{\cfrac{L}{g}}$

Demostración

Física y Química; Movimiento ondulatorio; 1. Bachillerato; Oscilador armónico II: Péndulo simple

Comenzamos descomponiendo las fuerzas peso y tensión en los ejes X e Y:

$\begin{drcases} \rm {Eje\ X} \rightarrow -mg sen\theta=ma_x \\ \rm Eje\ Y \rightarrow T-mgcos\theta=0\end{drcases}$

Se hacen dos suposiciones: al ser la oscilación menor a $11º$ el cuerpo solo se desplaza en el eje X y además, se aproxima el valor $\rm sen\theta\approx \theta$ . Por lo tanto:

$\rm a_X=-g sen\theta\approx -g\theta=-g\cfrac{s}{L} \approx -g\cfrac{x}{L}$

Se aplica esa aceleración a la fórmula del MAS:

$\rm a=-\omega^2\ x\implies -\cfrac{g}{L}\ x=-\omega^2\ x\implies \omega^2=\cfrac{g}{L}$

Por último, se aplica la fórmula $T=\cfrac{2\pi}{\omega}$

$\rm \omega^2=\cfrac{(2\pi)^2}{T^2}=\cfrac{g}{L}\implies T^2=\cfrac{(2\pi)^2L}{g}\implies T=2\pi\sqrt{\cfrac{L}{g}}$

El período de oscilación de un péndulo simple solo depende de su longitud y de la aceleración de la gravedad.