Leyes de Kepler: Órbitas, áreas y periodos

Leyes de Kepler

Kepler descubrió que las órbitas de los planetas son elípticas y que los planetas no se mueven a velocidad constante.

Además, creó una base matemática para relacionar el periodo $T$ de un planeta con su distancia media al sol $r$ .

Así estableció tres leyes empíricas sobre el movimiento planetario que proporcionaron la base para el futuro descubrimiento de la ley de gravitación universal.

Primera ley de Kepler o ley de las órbitas

Los planetas describen órbitas planas alrededor del Sol, con una trayectoria elíptica y con el Sol uno de los focos de la elipse.

Segunda ley de Kepler o ley de las áreas

El radio vector que une el Sol y el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

$r_p\cdot v_p=r_a\cdot v_a$

Tercera ley de Kepler o ley de los periodos

El cuadrado del periodo de revolución $T$ , de un planeta es proporcional al cubo de la distancia media que lo separa del Sol $r$ .

$\cfrac{T^2}{r^3}=k$

Ejemplo

La distancia media de la Tierra al Sol es de $\it r=1,5\cdot 10^{11}\ m$ , y la masa del Sol es de $\it M_{sol}=1,99\cdot10^{30}\ kg$ . Demuestra que el periodo de la Tierra alrededor del Sol sabiendo que la constante de Kepler cumple la siguiente relación $\it k=\cfrac{4\pi^2}{G\cdot M_{sol}}$ .

Datos	Planteamiento
$r=1,5\cdot 10^{11}\ \text{m}\\M_{\rm sol}=1,99\cdot 10^{30}\ \text{kg}\\G=6,67\cdot 10^{-11}\ \cfrac{\rm Nm^2}{\rm kg}$	$k=\cfrac{4\pi ^2}{GM_{\rm sol}}\\ \quad \\\cfrac{T^2}{r^3}=k\implies T^2=k\cdot r^3\implies T=\sqrt{\cfrac{4\pi^2\cdot r^3}{GM_{\rm sol}}}\approx{365 \ \rm días}$

Solución:

$\underline{\rm Como \ se\ quería\ demostrar,\ hemos\ obtenido\ que,\ aproximadamente,\ el\ periodo\ de\ la\ Tierra \ es\ de\ 365\ días}$