Medidas de dispersión: Rango, varianza y desviación típica

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión son datos que dan información sobre como se distribuyen esos datos representados gráficamente.

Tipos de medidas de dispersión

Existen diferentes medidas de dispersión, entre las que se encuentran:

Recorrido o rango $(R)$	Diferencia entre el valor mayor y menor: $R=x_f-x_i$
Varianza $(V$ o $s^2)$	Cociente del sumatorio de los cuadrados de los datos obtenidos por la frecuencia relativa $(f_i)$ , entre el número total de datos $(N)$ , menos la media al cuadrado $(\bar{x}^2)$ Se calcula: $s^2=\cfrac{\sum f_i \cdot x_i^2}{N}-\bar{x}^2$
Desviación típica $(s)$	Es la solución positiva obtenida de la raíz cuadrada de la varianza: $s=\sqrt{V}$
Coeficiente de variación $(CV)$	Es el cociente entre la desviación típica y la media aritmética: $CV=\cfrac{s}{\bar{x}}$

Ejemplo

Se ha realizado un estudio para conocer la variación de las notas que se han obtenido en tu clase. Calcula el rango, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación sabiendo que las notas obtenidas son:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f_i$	$2$	$4$	$5$	$1$

Donde son las notas obtenidas y $x_i$ $f_i$ el número de personas que han obtenido esas calificaciones. 

Para calcular el rango:

El valor más alto es: $x_f=5$ y el valor más bajo: $x_i=1$

$R=x_f-x_i=5-1=\underline{3}$

Para calcular la varianza

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$	Total
$f_i$	$2$	$4$	$5$	$1$	$N=2+4+5+1=12$
$f_i\cdot x_i$	$2\cdot1=2$	$8$	$15$	$4$	$\sum f_i \cdot x_i=2+8+15+4=29$
$x_i^2$	$(1)^2=1$	$4$	$9$	$16$
$f_i\cdot x_i^2$	$2\cdot 1=2$	$16$	$45$	$16$	$\sum f_i \cdot x_i^2=2+16+45+16=79$

$\bar{x}=\cfrac{\sum f_i \cdot x_i}{N}=\cfrac{29}{12}=2,41$

$s^2=\cfrac{\sum f_i \cdot x_i^2}{N}-\bar{x}^2=\cfrac{79}{12}-(2,41)^2=6,58-5,80=\underline{0,78}$

Para calcular la desviación típica:

$s=\sqrt{0,78}=\underline{0,88}$ 

Para calcular el coeficiente de variación:

$CV=\cfrac{s}{\bar{x}}=\cfrac{0,8}{2,4}=\underline{0,33}$