Identidades o relaciones trigonométricas principales

Relaciones trigonométricas principales

Las razones trigonométricas guardan relación entre sí, por lo que si conoces una de ellas puedes calcular fácilmente el resto.

Matemáticas; Trigonometría; 4. ESO; Identidades o relaciones trigonométricas principales

Relación entre tangente, seno y coseno	$\tg~ \alpha = \cfrac{\text{sen}~ \alpha}{\cos~ \alpha}$
Relación fundamental de la trigonometría	$\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Relación entre tangente y coseno	$1 + \tg^2 \alpha = \cfrac{1}{\cos^2\alpha}$
Relación entre cotangente y seno	$1 + \cotg^2 \alpha = \cfrac{1}{\text{sen}^2\alpha}$

Demostración de las relaciones trigonométricas principales

Relación fundamental de la trigonometría

Teniendo en cuenta las definiciones de seno y coseno y el teorema de Pitágoras:

$\text{sen} ~\alpha = \cfrac{c}{a} \hspace{10mm}cos ~\alpha = \cfrac{b}{a} \hspace{10mm} a^2 = b^2 + c^2$

La relación fundamental de la trigonometría es:

$\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = \bigg (\cfrac{c}{a} \bigg )^2 + \bigg (\cfrac{b}{a} \bigg )^2 = \cfrac{c^2}{a^2} \ + \cfrac{b^2}{a^2} = \cfrac{c^2+b^2}{a^2} = \cfrac{a^2}{a^2} = 1$

$\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Relación entre la tangente y el coseno

Se obtiene dividiendo la relación fundamental de la trigonometría entre $\cos^2\alpha$ :

$\cfrac{\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \cfrac{1}{\cos^2\alpha} \rightarrow$ $\cfrac{\text{sen}^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \cfrac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \cfrac{1}{\cos^2\alpha}$

$1 + \tg^2 \alpha = \cfrac{1}{\cos^2\alpha}$

Relación entre la cotangente y el seno

Se obtiene dividiendo la relación fundamental de la trigonometría entre $\text{sen}^2\alpha$ :

$\cfrac{\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha}{\text{sen}^2\alpha} = \cfrac{1}{\text{sen}^2\alpha} \rightarrow$ $\cfrac{sen^2\alpha}{sen^2\alpha} + \cfrac{cos^2\alpha}{sen^2\alpha} = \cfrac{1}{sen^2\alpha}$

$1 + \cotg^2 \alpha = \cfrac{1}{\text{sen}^2\alpha}$

Recuerda que: $\text{sen}^2\alpha$ es lo mismo que $(\text{sen}~ \alpha)^2$ , y de forma análoga para el coseno, la tangente y la cotangente.