Progresiones geométricas: Sucesiones de razón constante

Definición

Se conoce como progresión geométrica a aquella sucesión cuyos términos son obtenidos a partir del término anterior multiplicándolo por $r$ , una constante fija. La constante $r$ se conoce como razón de la sucesión y puede adquirir valores positivos y negativos.

$a_n=a_{n-1}\times r$

El término general de una progresión geométrica, siendo $a_1$ el primer término y $r$ su razón, es:

$a_n=a_1 \times r^{(n-1)}$

Ejemplo

María quiere ahorrar para comprarse una casa. Para ello ahorra un céntimo el primer año, dos céntimos el segundo, cuatro céntimos el tercero, ocho céntimos el cuarto; y así durante $25$ años. ¿Cuánto habrá ahorrado a los $25$ años?

Se trata de una progresión geométrica, dado que al dividir cada término entre el anterior se obtiene siempre el mismo número:

$\frac{0,02}{0,01}=\frac{0,04}{0,02}=...=2$

$a_1=0,01$ y $r=2$ . Por tanto, el término general es:

$a_n=0,01\times 2^{(n-1)}$ .

A los veinticinco años ( $n=25$ ), María habrá ahorrado:

$a_{31}=0,01\times 2^{(25-1)}=\underline{167.772,16}$

Suma de los términos de una progresión geométrica

La suma, $S_n$ , de los términos de una progresión geométrica viene dada por:

$S_n= \frac{a_n\cdot r-a_1}{r-1}$

Ejemplo

Calcula la suma de las diez primeras potencias de $3$ .

$(a_n)=(1,3,9,27,81,...); a_n= 3^{(n-1)} \\ \quad \\$

 $S_{10}= \frac{a_{10}\cdot r-a_1}{r-1}=\frac{19683 \cdot 3-1}{3-1}=\underline{29.524}\\ \quad \\$