Funciones parabólicas: Expresión y representación gráfica

Funciones cuadráticas

Definición

Las funciones cuadráticas o parabólicas son funciones polinómicas de segundo grado. Su forma general es $y = ax^2 + bx+c$ . Donde $a \neq0$ .

Ejemplo

$y= 4x^2 +5x -6$ es una función cuadrática.

Gráfico

El gráfico de una función cuadrática es una parábola.

Si $a$ es positiva la forma de la parábola es cóncava (como una boca sonriente).
Si $a$ es negativa la forma de la parábola es convexa (como una boca triste).

Matemáticas; Funciones cuadráticas; 3. ESO; Funciones parabólicas: Expresión y representación gráfica

Truco: Cóncava recuerda a una copa de cava y convexa a una mano recibiendo un beso.

Representación gráfica

Vértice

Las funciones cuadráticas tienen un mínimo si $a> 0$ y un máximo si $a< 0$ . Este punto es el vértice de la función. Para calcular los vértices de una función cuadrática debes seguir los siguientes pasos:

PROCEDIMIENTO

1.	Localiza la coordenada $x$ a través de esta fórmula: $x = \cfrac{-b}{2a}.$
2.	Sustituye ese valor en las $x$ de la función para obtener la variable $y.$
3.	Ponlo en forma de intervalo y localízalo en el eje cartesiano.

Ejemplo

Calcula el vértice de la siguiente función:

$y = -2x^2 +4x -7.$ 

$a =-2; b= 4; c =-7.$

Coordenada $x$ del vértice: $\cfrac{-4}{-4}; x = \underline1.$ 

Sustitución de la coordenada $x$ : $y = -2(1)^2+4(1)-7, y = \underline{-5}.$ 

Las coordenadas del vértice son: $\underline{(1{,}-5)}$ 

Puntos de corte con los ejes

Una parábola corta con el eje $y$ cuando $x =0.$ , y corta con el eje $x$ cuando $y = 0.$

Ejemplo

Localiza los cortes con el eje $y$ y el $x$ de la función: $y = x^2-4x+3.$

Corte con el eje $y:$ $\text{Si}\space x=0; \space y = 0^2-0+3 \longrightarrow y = \underline3.$ 

Corta con el eje $y$ en el punto $\underline{(0,3)}$ 

Corte con el eje $x:$ $\text{Si}\space y =0; \space0 = x^2-4x+3.$ 

Ecuación de segundo grado: $x_1 = \underline{1} \space \text{y}\space x_2 = \underline{3}.$ 

Corta con el eje $x$ en los puntos $\underline{(1{,}0)} \space\text{y}\space \underline{(3{,}0)}.$ 