Ecuación de la recta: Cálculo y posición relativa

Ecuación de la recta

Es la función lineal (expresión matemática) que origina la gráfica (dibujo en la cuadrícula) de una recta. Todas las rectas obedecen a la misma ecuación general o explícita:

$y=mx + b$

Truco: A veces, la ecuación de la recta no está exactamente así. Puede ser, por ejemplo, $\it 2x +3y-7=0$ . A esto se le conoce como ecuación implícita. Es igual que la otra solo que tienes que operar para ponerla en forma general, está como "escondida" .

Cálculo y condiciones

Ya has visto que para conocer una recta necesitas obtener la $m$ y la $b$ pero, en la mayoría de los casos, no tienes la gráfica. La pendiente y la ordenada en el origen son ahora tus incógnitas y, para encontrar $\bold 2$ incógnitas, necesitas dos condiciones o datos. Vas a ver los dos casos posibles:

Te dan un punto de la recta y su pendiente/ordenada

Procedimiento

1.

Sustituyes la pendiente ( $m$ ) o la ordenada en el origen ( $b$ ), según cual te den de las dos en tu ecuación general para cualquier recta:

$y=mx+b$

2.

Sustituyes también el punto que te dan, el cuál está siempre escrito en la forma $(x, y)$ . Con esto, obtienes una ecuación de primer grado con una incógnita, que es la constante que te falta.

3.

Resuelves la ecuación. Ahora ya sabes $m$ y $b$ y puedes escribir la ecuación de la recta.

Te dan dos puntos de la recta

Procedimiento

1.	Escribe dos ecuaciones generales para cualquier recta y sustituyes cada punto en una.
2.	Has obtenido un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, $m$ y $b$ .
3.	Lo resuelves y, con tus soluciones para $m$ y $b$ , escribes la ecuación de tu recta.

Ejemplo

Calcula la ecuación de la recta que tiene pendiente $\it5$ y pasa por el punto $\it(1, -3)$ .

Como te dice la pendiente, sabes que $\it m=5$ . La sustituyes en la ecuación general: $\it y=mx+b \longrightarrow y=5x+b$ 

Sustituyes el punto $\it (x, y)=(1,-3) \longrightarrow \it y=5x+b \rightarrow-3=5\times1+b$

Resuelves la ecuación: $\it -3=5\times1+b \rightarrow b=-8$

Ya tienes $m$ y $b$ , puedes escribir la ecuación de la recta que es $\it\underline{ y=5x-8}$ .

Posición relativa de dos rectas a partir de las ecuaciones

Si entiendes bien el significado de la pendiente y la ordenada en el origen, puedes saber la posición relativa entre dos rectas viendo sus ecuaciones:

Coincidentes	$\begin{aligned}m&=m^\prime\\b&=b^\prime\end{aligned}$	Si dos rectas tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen, entonces tendrán la misma ecuación. Recorren los mismos puntos y ¡serán la misma recta!
Paralelas	$\begin{aligned}m&=m^\prime\\b&\ne b^\prime\end{aligned}$	Si tienen la misma pendiente, tienen la misma inclinación. Al tener diferentes ordenadas en el origen, tendrán distinta ecuación y recorrerán distintos puntos. Son rectas paralelas.
Secantes	$m\ne m^\prime$	Si tienen distinta inclinación, las rectas se cruzarán en cualquier momento. Sea cual sea su ordenada en el origen, son secantes.