Monotonía y puntos extremos de una función

Monotonía

La monotonía de una función determina si una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en un intervalo $(a,b)$

Una función es estrictamente creciente si el valor de la variable dependiente $y$ aumenta cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .
Una función es estrictamente decreciente si el valor de la variable dependiente $y$ disminuye cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .
Una función es constante si el valor de la variable dependiente $y$ se mantiene cuando se aumenta el valor de la variable independiente $x$ .

Ejemplo

Matemáticas; Funciones; 2. ESO; Monotonía y puntos extremos de una función

La función de la gráfica es estrictamente creciente en el intervalo $(-2,2)$ y estrictamente decreciente en los intervalos $(-\infty,-2)$ y $(2,\infty)$ .

Estudiar la monotonía de una función

Para determinar si una función $f(x)$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en el intervalo $(a,b)$ debe seguirse el siguiente procedimiento:

PROCEDIMIENTO

1.

Escoge un par de valores, $x_1$ , $x_2$ , pertenecientes al intervalo, $(a,b)$ , y al Dominio de la función, siendo $x_1<x_2$ .

2.

Sustituye estos valores en la función $f(x)$ .

3.

Si $f(x_1)<f(x_2)$ , la función es estrictamente creciente.

Si $f(x_1)>f(x_2)$ , la función es estrictamente decreciente.

Ejemplo

Estudia la monotonía de la función $f(x)=3x+8$ en el intervalo $(-1,9)$ .

Como es una función polinómica y su dominio abarca todos los números reales, se puede estudiar la función en este intervalo.

Valores $x_1$  y $x_2$ :

$x_1=2;x_2=6$

Sustitución:

$f(x_1)=f(2)=3·2+8=14$

$f(x_2)=f(6)=3·6+8=26$

Análisis:

$f(2)<f(6)$ 

$\underline{\text{La función será estrictamente creciente en el intervalo} \space(-1,9)}$ 

Puntos extremos

Los puntos extremos de una función se denominan mínimos y máximos:

Una función $f(x)$ tiene un máximo relativo en el punto de abscisas $x=a$ si $f(a)$ es el mayor valor que toma la función en los puntos del entorno de $a$ .
Una función $f(x)$ tiene un mínimo relativo en el punto de abscisas $x=a$ si $f(a)$ es el menor valor que toma la función en los puntos del entorno de $a$ .

Se llama máximo absoluto de la función al mayor de sus máximos relativos. Equivalentemente, se llama mínimo absoluto al menor de sus mínimos relativos.

Ejemplo

Matemáticas; Funciones; 2. ESO; Monotonía y puntos extremos de una función

La función tiene un mínimo relativo en $(1,1)$ y dos máximos relativos en $(-3,3)$ y $(5,5)$ . El punto $(5,5)$ es el máximo absoluto porque tiene el mayor valor de $y$ .