Resolución de sistemas de inecuaciones

Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita tienes que seguir los siguientes pasos.

Procedimiento

1.	Resuelve por separado cada inecuación del sistema.
2.	Representa en la recta los intervalos de todas las soluciones.
3.	La solución es la intersección de todas las soluciones.

Recuerda que: Una inecuación es una desigualdad. Su solución son todos aquellos números que cumplan esa desigualdad.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

$\begin{aligned}2x+3 &\lt x+1\\x+3&\geq2x+1\end{aligned}\Bigg\rbrace$

Primero tienes que resolver de manera independiente cada una de las dos inecuaciones.

$\begin{aligned}2x+3 &\lt x+1\\x+3&\geq2x+1\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}x&\lt-2\\x&\leq2\end{aligned}\Bigg\rbrace\implies\begin{aligned}(-\infty,-2)\\(-\infty,2]\end{aligned}$

La solución del sistema es la intersección de los dos intervalos, es decir, los números que estén exclusivamente tanto en uno como en otro.

$(-\infty,-2)\cap(-\infty,2]=(-\infty,-2) \newline \underline{\text{El intervalo} (-\infty,-2) \text{ es la solución del sistema.}}$

Sistemas de inecuaciones incompatibles

No todos los sistemas de inecuaciones tienen solución, es decir, los resultados de cada inecuación no solapan con el resto.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

$\begin{aligned}2x&\gt 2+x\\x-3&\lt-5\end{aligned}\Bigg\rbrace$

Resuelve las dos inecuaciones para obtener el intervalo de cada una.

$\begin{aligned}2x&\gt 2+x\\x-3&\lt-5\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}x&\gt 2\\x&\lt-2\end{aligned}\Bigg\rbrace\implies\begin{aligned}(2,\infty)\\(-\infty,-2)\end{aligned}$

Este sistema no tiene solución porque la intersección de los dos rangos es nula, $\underline{(2,\infty)\cap(-\infty,-2)=\varnothing.}$