Aproximación de la binomial por la normal

De acuerdo al Teorema de Movire-Laplace, si $X$ es una variable aleatoria con distribución binomial $Bin (n,p)$ , entonces $X$ puede aproximarse a una distribución normal $N(\mu=np, \sigma=\sqrt{npq})$ , si se cumple que:

$n >10$
$n \cdot p>5$
$n \cdot q >5$

Corrección por continuidad

Cuando se realiza una aproximación de la binomial por la normal, debes tener en cuenta que la distribución binomial es discreta y la distribución normal es continua, de modo que habrá que asumir un error.

Para minimizar el error será necesario aplicar una corrección en el proceso llamada corrección por continuidad o corrección de Yates, que consiste en:

$P(Y=k)\approx P(k-0,5 \leq X \leq k+0,5)$

En otras situaciones, al aplicar la corrección por continuidad, debes tener en cuenta que:

$P(Y \leq k) \approx P(X \leq k+0,5)$	$P(Y < k) \approx P(X \leq k - 0,5)$
$P(Y \geq k) \approx P(X \geq k - 0,5)$	$P(Y > k) \approx P(X \geq k+0,5)$

Ejemplo

Si se lanza un dado $100$ veces, calcula la probabilidad de que salgan entre $40$ y $60$ veces cruz.

Puesto que $n$ es suficientemente grande y $np=50$ y $nq=50$ , puedes aproximar la distribución binomial por la normal.

Al realizar una aproximación, debes aplicar una corrección por continuidad para minimizar el error. De modo que debes calcular la siguiente probabilidad:

$P(39,5 \leq X \leq 60,5)$

$P(X \leq 60,5)-P(X \leq39,5)$ 

A continuación, para tipificar debes calcular la media y la desviación típica:

$\mu=n \cdot p=100 \cdot 0,5=50$ 

$\sigma=\sqrt{100 \cdot 0,5 \cdot 0,50}=5$

A continuación, tipifica:

$P(Z \leq \cfrac{60,5-50}{5})-P(Z \leq \cfrac{39,5-50}{5})$

$P(Z \leq 2,1)-[1-P(Z \leq 2,1)]$

 $0,9821-[1-0,9821]=\underline {0,9642}$ 

La probabilidad de que salga cruz entre $40$ y $60$ es de $0,9642.$ 