Distribuciones continuas: Características

Una función, $f(x)$ , definida en una recta real, es una función de densidad de una variable aleatoria continua X si se cumple que:

$f(x)\geq 0$ , siendo $x$ todo número real.
El área limitada por el eje de abscisas y la gráfica es $1.$

Si se cumplen estas condiciones y $f(x)$ es la función de densidad de una variable aleatoria continua, se da que:

$P(a\le 0 \le b)=\int_a^b f(x) dx$

Matemáticas; Distribuciones; 2. Bachillerato; Distribuciones continuas: Características

Se conoce como función de distribución de la variable $X$ a la función que denota la probabilidad acumulada hasta el valor $X=x$ , dada una variable aleatoria continua $X.$

$F(x)=P(X\leq x)$

Esperanza y varianza de una variable aleatoria continua $X$

Esperanza de $X$	$\mu=E[X]=\int_{-\infty} ^{+\infty} xf(x) dx$
Varianza de $X$	$\sigma^2=Var(x)=\int_{-\infty} ^{+\infty} (x-\mu)^2 f(x)dx=\int_{-\infty} ^{+\infty} x^2 f(x)dx -\mu^2$

Ejemplo

El tiempo de espera para un pasajero en una parada de cercanías sigue una variable aleatoria continua con función de densidad:

$f(x)= \begin{cases} \cfrac{1}{15} &\text{si } 0 \leq x \leq 15 \\ 0 &\text{en el resto} \end{cases}$

Determina la probabilidad de que otro pasajero aleatorio tenga que esperar más de $10$ minutos.

Matemáticas; Distribuciones; 2. Bachillerato; Distribuciones continuas: Características

La probabilidad de que otro pasajero aleatorio espere más de diez minutos es:

$P(X>10)=(15-10)\cfrac{1}{15} =\underline{\cfrac{1}{3}}$ 