Distribución de Bernoulli y binomial: Características

Distribución de Bernoulli

El experimento de Bernoulli consiste en un experimento aleatorio con dos únicos resultados, a los cuales suelen denominarse éxito $(E)$ y fracaso $(F).$ La variable aleatoria $X$ toma el valor $1$ si ocurre el suceso $E$ y el valor $0$ si ocurre el suceso $F.$

Por tanto, una variable aleatoria  $X$ presenta una distribución de Bernoulli de parámetro p, con $0\le p\le1$ , cuando toma los valores $1$ y $0$ con probabilidades $P(X=1)=p$ y $P(X=0)=q=1-p.$

Si $X\sim Ber(p):$

Esperanza	$E[X]=\mu=1p+0(1-p)$
Varianza	$Var(X)=\sigma^2=1^2p+0(1-p)-p^2=p(1-p)=pq$

Ejemplo

La probabilidad de lanzar un dado al aire y que salga el número $1$ es de $\cfrac{1}{6}$ . Determina la esperanza, la varianza de esta variable y la probabilidad de que no salga el número $1.$

El número de éxitos sigue una distribución de Bernoulli de probabilidad de éxito $\cfrac{1}{6}$ :

$X \sim \rm Ber\left(\cfrac{1}{6}\right)$

Sabiendo que la probabilidad de éxito es $\cfrac{1}{6}$ , la probabilidad de que no salga el número $1$ será:

$P(X=0)=q=1-\cfrac{1}{6}=\underline{\cfrac{5}{6}}$

La esperanza de que salga $1$ será:

$E(X)=p=\underline{\cfrac{1}{6}}$ 

Por último, se calcula la varianza:

$\rm Var(X)=pq=\cfrac{5}{6}\cdot \cfrac{1}{6}=\underline{\cfrac{5}{36}}$ 

Distribución binomial

Si en el ejemplo anterior se tirase $10$ veces el dado, aparece una variable $Y$ : "número de veces que sale el número $1$ en las $10$ tiradas" se le conoce como binomial y presenta dos parámetros: el número de veces que se tira la moneda, $10$ , y la probabilidad de éxito $E$ , probabilidad de que salga el número $1.$

De modo que, en $n$ experimentos de Bernoulli independientes, la probabilidad de que en cada experimento se produzca el suceso $E$ es $p.$

La variable $X$ : "número de veces que se produce el suceso $E$ en los $n$ experimentos" presenta una distribución binomial de parámetros $n$ y $p$ , siendo $n$ un número natural y $0\le p\le 1$ . Se representa como $X \sim Bin (n,p)$ .

Cuando $X\sim Bin(n,p)$ , la probabilidad de que $X$ tome un valor aleatorio $k$ , con $0\le k \le n,$ es:

$P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}$

Ejemplo

Una pareja tiene una probabilidad de $0,25$ de tener hijos con ojos azules. Si la pareja tiene seis hijos, calcula la probabilidad de que dos de ellos tengan los ojos azules.

Variable X : "número de hijos con ojos azules".
Los padres tienen $6$ hijos, luego $n=6$
Probabilidad de que tengan ojos azules: $p=0,25$ .

Puesto que se trata de una distribución binomial $X \sim Bin (n=6,p=0,25)$ , habrá que aplicar la fórmula de esta para $k=2$ para calcular la probabilidad:

$P(X=2)=\dbinom{6}{2}0,25^2(1-0,25)^{6-2}$ 

$P(X=2)=\cfrac{6!}{2! \cdot 4!}\cdot 0,25^2\cdot 0,75^4=\underline {0,2966}$ 