Variables aleatorias: Función de masa, esperanza y varianza

Introducción

Para analizar el resultado de un experimento, se le puede asignar un número real a cada suceso. Este número es la variable aleatoria y es especialmente útil cunado quieres estudiar variables cualitativas.

Ejemplo

Al lanzar una moneda, se le puede asignar el valor $1$  a sacar cara y $0$ a sacar cruz. De esta manera puedes cuantificar dos variables cualitativas.

Las variables aleatorias pueden ser discretas si usan números naturales. Son continuas si pueden tomar infinitos valores comprendidos en un intervalo.

Ejemplo

En el experimento "tirar una moneda hasta que salga cara" la variable aleatoria es discreta porque puede ser en el lanzamiento $1, 2, 3$ ... Si se escoge una persona y se toma su estatura, este número puede ser cualquiera entre un intervalo $[150,200]\space cm$ , en teoría con infinitos decimales, por lo tanto es una variable aleatoria continua.

Función de masa de probabilidad

Es la función de una variable aleatoria discreta que asigna a cada valor $x_j$ su probabilidad $X$ .

$f(x_j)=p_j=P(X=x_j)$

Debe cumplirse $p_j\geq0$ y $\displaystyle\sum_{j=1}p_j=1$

Ejemplo

En el experimento "tirar dos veces una moneda" el espacio muestral es $E=(CC,CX,XC,XX)$ . La probabilidad del subconjunto $A=$ "sacar al menos una cara" es:

$\underline{P(A)=P(X=1)+P(X=2)=0,5+0,25=0,75}$

Distribución de probabilidad

Está formada por todos los valores de la variable (eje $X$ ) y su probabilidad (eje $Y$ ) representados en un diagrama de barras.

Esperanza y varianza

La distribución puede describirse con parámetros de posición (media o esperanza) y de dispersión (varianza y desviación típica).

Media o esperanza matemática: $\mu =E[X]=\displaystyle\sum_{j=1}^k x_jp_j$
Varianza: $\sigma^2=Var(X)=\displaystyle\sum_{j=1}^k x^2_jp_j-\mu^2$
Desviación típica $\sigma=+\sqrt{Var(X)}$

Ejemplo

Las probabilidades de sacar cada número en un dado trucado están anotadas en la tabla. Calcula la esperanza y la varianza.

$x_j$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$p_j$	$\cfrac{2}{18}$	$\cfrac{2}{18}$	$\cfrac{3}{18}$	$\cfrac{3}{18}$	$\cfrac{4}{18}$	$\cfrac{4}{18}$

Esperanza: $\mu=E[X]=1\cdot\cfrac{2}{18}+2\cdot\cfrac{2}{18}+3\cdot\cfrac{3}{18}+4\cdot\cfrac{3}{18}+5\cdot\cfrac{4}{18}+6\cdot\cfrac{4}{18}=\cfrac{71}{18}\approx3,94$

Varianza: $\sigma^2=Var(X)=(1^2\cfrac{2}{18}+2^2\cfrac{2}{18}+3^2\cfrac{3}{18}+4^2\cfrac{3}{18}+5^2\cfrac{4}{18}+6^2\cfrac{4}{18})-(\cfrac{71}{18})^2=\cfrac{881}{324}\approx2,72$